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相关试卷

1、已知点 $A (1, 1) ， B (5, 3) ，$ 则以线段AB为直径的圆的方程为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5$ B、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ C、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ D、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$

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2、下列四个命题为真命题的是（）

A、若向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $\vec{a} // \vec{b}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ B、若向量 $\vec{a} = (5, 0)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(4, 2)$ C、若向量 $\vec{e}$ 是与向量 $(1, 2)$ 共线的单位向量，则 $\vec{e} = (\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ D、已知向量 $\vec{a} = (\cos α, \sin α)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的最大值为 $\sqrt{5} + 1$

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3、复数 $z = \frac{3 + i}{2 - i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4、圆 ${(x - 4)}^{2} + y^{2} = 9$ 和圆 $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 的位置关系是（）

A、外离 B、相交 C、外切 D、内含

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5、某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯 $A C$ （ $A C > 5$ 米）的 $C$ 点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌 $D E$ .如图所示，广告牌底部点 $E$ 正好为 $D C$ 的中点，电梯 $A C$ 的坡度 $∠ C A B = 30 °$ .某人在扶梯上点 $P$ 处（异于点 $C$ ）观察广告牌的视角 $∠ D P E = θ$ ，当人在 $A$ 点时，观测到视角 $∠ D A E$ 的正切值为 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ .

(1)、设 $B C$ 的长为 $m$ 米，用 $m$ 表示 $tan ∠ D A B$ ；

(2)、求扶梯 $A C$ 的长；

(3)、当某人在扶梯上观察广告牌的视角 $θ$ 最大时，求 $C P$ 的长.

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6、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ ， $\vec{C F} = 2 \vec{F D}$ ．

(1)、若 $\vec{E F} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，求 $3 x + 2 y$ 的值；

(2)、若 $|\vec{A B}| = 6$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，求 $\vec{A C} \cdot \vec{E F}$ ．

(3)、若菱形 $A B C D$ 的边长为6，求 $\vec{A E} \cdot \vec{E F}$ 的取值范围．

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7、已知函数 $f (x) = tan (- 2 x + θ)$ ，其中 $θ$ 为三角形的一个内角，且 $2 {cos}^{2} θ - cos θ - 1 = 0$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及定义域；

(2)、求函数 $f (x)$ 的对称中心及单调区间．

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8、在 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B C}, E$ 是线段 $A D$ 上的动点（与端点不重合），设 $\vec{C E} = x \vec{C A} + y \vec{C B}$ ，则 $\frac{6 x + y}{x y}$ 的最小值是．

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9、将一实心铁球放入圆柱形容器中（厚度忽略不计），铁球恰好与圆柱的内壁相切，且铁球的最高点与圆柱上底面在同一平面内，则铁球的体积与圆柱形容器的体积之比为.

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10、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{|x - 1|} - 1 ， 0 < x \leq 2 \\ \frac{1}{2} f (x - 2) ， x > 2 \end{array} .$ 则下列说法正确的是（）

A、当 $2 < x \leq 4$ 时， $f (x) = 2^{|x - 3| - 1} - \frac{1}{2}$ B、 $f (2 n + 1) = - {(\frac{1}{2})}^{n} (n \in N)$ C、存在 $x \in (- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ ，使得 $f (x) = 1$ D、函数 $g (x) = 4 f (x) - 1$ 的零点个数为 $10$

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11、如图，甲船从 $A_{1}$ 出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的北偏西 $105 °$ 方向的 $B_{1}$ 处，此时两船相距 $5 \sqrt{2}$ 海里．当甲船航行12分钟到达 $A_{2}$ 处时，乙船航行到甲船的北偏西 $120 °$ 方向的 $B_{2}$ 处，此时两船相距5海里，下面正确的是（）

A、乙船的行驶速度与甲船相同 B、乙船的行驶速度是 $15 \sqrt{2}$ 海里/小时 C、甲乙两船相遇时，甲行驶了 $\frac{1 + \sqrt{2}}{3}$ 小时 D、甲乙两船不可能相遇

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12、若集合 $M$ 和 $N$ 关系的Venn图如图所示，则 $M, N$ 可能是（）

A、 $M = \{0, 2, 4, 6\}, N = \{4\}$ B、 $M = \{x ∣ x^{2} < 1\}, N = {x ∣ x > - 1}$ C、 $M = \{x ∣ y = lg x\}, N = \{y ∣ y = e^{x} + 5\}$ D、 $M = \{(x, y) ∣ x^{2} = y^{2}\}, N = \{(x, y) ∣ y = x\}$

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{3}, \vec{A D} = 2 \vec{D B}, P$ 为 $C D$ 上一点，且 $\vec{A P} = m \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ ，若 $△ A B C$ 面积是 $8 \sqrt{3}$ ，则 $|\vec{A P}|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{2}$

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6}), x \leq \frac{2π}{3} \\ \log_{\frac{1}{e}} x, \frac{2π}{3} < x \leq c \end{cases}$ ，若 $f (x)$ 的值域是 $[- 2, 1]$ ，则 $c$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $e$ C、 $e^{2}$ D、 $\frac{1}{e^{2}}$

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15、已知命题“ $\forall x \in [1, 4], e^{x} - \frac{2}{x} - m \geq 0$ ”为真命题，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, e - 2]$ B、 $(- \infty, e^{4} - \frac{1}{2}]$ C、 $[e - 2, + \infty)$ D、 $[e^{4} - \frac{1}{2}, + \infty)$

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16、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1)$ ， $\vec{b} = (- 3, 4)$ ，则 $\cos ⟨\vec{a}, \vec{a} - \vec{b}⟩ =$ （）

A、 $\frac{5 \sqrt{26}}{26}$ B、 $- \frac{5 \sqrt{26}}{26}$ C、 $\frac{\sqrt{26}}{13}$ D、 $- \frac{\sqrt{26}}{13}$

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17、已知函数 $f (x) = x + 2^{x}$ 的零点在区间 $(n ， n + 1)$ 内， $n \in Z$ ，则 $n$ 的值为（）

A、－2 B、－1 C、0 D、1

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18、已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a + 1) x (a \in R)$ ．

(1)、若 $f (x) \leq 1$ ，求a的取值范围；

(2)、解关于x的不等式 $f (x) < - 1$ ．

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19、已知 $\vec{n_{1}} = (\sqrt{3}, x, 2)$ ， $\vec{n_{2}} = (- 3, \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3})$ 分别是平面 $α, β$ 的法向量，若 $α // β$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 7$ B、 $- 1$ C、1 D、7

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20、直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如 $y = k x + 1 (k \in R)$ 表示过点 $(0, 1)$ 的直线族（不包括直线 $y$ 轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.

(1)、圆 $M : x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 是直线族 $m x + n y = 1 (m, n \in R)$ 的包络曲线，求 $m, n$ 满足的关系式；

(2)、若点 $N (x_{0}, y_{0})$ 不在直线族 $Ω : y = t x - t^{2} (t \in R)$ 的任意一条直线上，求 $y_{0}$ 的取值范围及直线族 $Ω$ 的包络曲线 $E$ 的方程；

(3)、在（2）的条件下，过直线 $x - 4 y - 4 = 0$ 上的动点 $P$ 作曲线 $E$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ，求原点 $O$ 到直线 $A B$ 的距离 $d$ 的最大值.

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