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相关试卷

1、已知两条平行直线 $l_{1} : 3 x - 4 y + 6 = 0$ 与 $l_{2} : 3 x - 4 y + C = 0$ 间的距离为 $1$ ，则 $C$ 的值为（）

A、 $- 1$ 或 $- 11$ B、 $- 5$ 或 $- 7$ C、 $5$ 或 $7$ D、 $1$ 或 $11$

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2、下列选项中正确的是（）

A、 ${$ 质数 $} \subseteq {$ 奇数 $}$ B、集合 $\{1, 2, 3\}$ 与集合 $\{4, 5, 6\}$ 没有相同的子集 C、任何集合都有子集，但不一定有真子集 D、若 $A \subseteq B, B \subseteq C$ ，则 $A \subseteq C$

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3、图1是直角梯形 $A B C D, A B / / D C$ ， $∠ D = 90^{\circ}$ ，
$A B = 2, D C = 3, A D = \sqrt{3}, \vec{C E} = 2 \vec{E D}$ ，以 $B E$ 为折痕将 $△ B C E$ 折起，使点 $C$ 到达 $C_{1}$ 的位置．且 $A C_{1} = 3$ 如图2．

(1)、证明： $A C_{1} ⊥ B E$ ；

(2)、求二面角 $C_{1} - A D - B$ 的余弦值．

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4、曲线 $C : \frac{x^{2}}{3 + m} - \frac{y^{2}}{1 - m} = 1 (m \neq - 3$ 且 $m \neq 1)$

(1)、若曲线 $C$ 表示双曲线，求 $m$ 的取值范围；

(2)、当 $m = 0$ ，点 $P$ 在曲线 $C$ 上，且点 $P$ 在第一象限， $F_{1} (- 2, 0), F_{2} (2, 0)$ ， $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，求点 $P$ 的横坐标．

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5、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知点 $M (3, - 1, 4), N (2, 1, 5)$ ，则 $|\vec{M N}| =$ .

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6、曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的点，已知对于曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 上一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 处的曲率半径公式为 $R = a^{2} b^{2} {(\frac{x_{0}^{2}}{a^{4}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{4}})}^{\frac{3}{2}}$ 则下列说法正确的是（）

A、对于半径为 $R$ 的圆，其圆上任意一点曲率半径为 $R$ B、若某焦点在 $x$ 上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为 $c$ （半焦距），则椭圆离心率为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，则椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点处的曲率半径的最大值为 $\frac{b^{2}}{a}$

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7、如图，矩形 $B D E F$ 所在平面与正方形 $A B C D$ 所在平面互相垂直， $B D = 2, D E = 1$ ，点 $P$ 是线段 $E F$ 上的动点，则下列命题中正确的是（）

A、若建立以 $D$ 为原点， $D A$ 为 $x$ 轴正半轴， $D C$ 为 $y$ 轴正半轴， $D E$ 为 $z$ 轴正半轴的空间直角坐标系，则点 $F$ 关于 $x O y$ 平面对称的点坐标为 $(1, 1, - 1)$ B、点 $D$ 到 $C F$ 的距离是 $\sqrt{2}$ C、不存在点 $P$ ，使得直线 $D P / /$ 平面 $A C F$ D、直线 $D P$ 与 $B C$ 所成角余弦值的取值范围是 $[0, \frac{\sqrt{10}}{5}]$

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8、已知 $A (0, 2), B (1, 0)$ ，直线 $A B$ 上有一动点 $(x, y)$ ，下列说法正确的是（）

A、直线 $A B$ 的斜率为 $- 2$ B、直线 $A B$ 的截距式为 $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} = 1$ C、 $(0, 0)$ 关于直线 $A B$ 的对称点为 $(\frac{8}{5}, \frac{4}{5})$ D、 $x y$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$

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9、棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $N$ 为 $C C_{1}$ 的中点， $P$ 在底面 $A B C D$ 内运动， $D_{1} P$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $θ_{1}$ ， $N P$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $θ_{2}$ ，若 $θ_{1} = θ_{2}$ ，则 $|A P|$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{8}{3}$ C、4 D、1

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10、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，一组斜率为1的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为（）

A、 $y = \frac{4}{3} x$ B、 $y = - 2 x$ C、 $y = - \frac{3}{4} x$ D、 $y = 2 x$

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11、已知动点 $Q$ 在 $△ A B C$ 所在平面内运动，若对于空间中任意一点 $P$ ，都有 $\vec{P Q} = - 2 \vec{P A} + 4 \vec{P B} + m \vec{C P}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、2 B、0 C、 $- 1$ D、1

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12、已知动点 $M (x, y)$ 满足 $\sqrt{{(x + 2)}^{2} + y^{2}} - \sqrt{{(x - 2)}^{2} + y^{2}} = 4$ ，则动点 $M$ 的轨迹是（）

A、射线 B、直线 C、椭圆 D、双曲线的一支

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13、直线l： $m x - y + 1 = 0$ 与圆C： $x^{2} + (y - 1)^{2} = 5$ 的位置关系是 $($ 　　 $)$

A、相切 B、相离 C、相交 D、不确定

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14、直线 $y = \sqrt{3} x + 1$ 的倾斜角为（）

A、 $- 60 °$ B、30° C、60° D、120°

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15、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x |x - a| + 1 (a \in R)$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a > 0$ 时，若函数 $f (x)$ 在 $(m, n)$ 上既有最大值又有最小值，且 $n - m \leq |a (b - 1)|$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围.

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16、已知函数 $f (x) = \sqrt{x} (x > 0), g (x) = e^{a x} (a \in R)$ ，

(1)、若 $a = - 1$ ，讨论 $F (x) = f (x) \cdot g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 的单调性；

(2)、若 $a > 0$ ，函数 $G (x) = {[f (x)]}^{4} \cdot ln g (x)$ ，不等式 $a sin x > \frac{x}{6} - \frac{1}{6} G (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $n \in N^{*}, n \geq 2$ 时，求证： $\sum_{k = 2}^{n} k sin \frac{1}{k} > \frac{6 n^{2} - 7 n + 1}{6 n}$ ．

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17、如图，动点 $M$ 到两定点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (2, 0)$ 构成 $△ M A B$ ，且 $∠ M B A = 2 ∠ M A B$ ，设动点 $M$ 的轨迹为 $C$ ．
（1）求轨迹 $C$ 的方程；
（2）设直线 $y = - 2 x + m$ 与 $y$ 轴交于点 $P$ ，与轨迹 $C$ 相交于点 $Q 、 R$ ，且 $|P Q| < |P R|$ ，求 $\frac{|P R|}{|P Q|}$ 的取值范围．

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18、随着芯片技术的不断发展，手机的性能越来越强大，为用户体验带来了极大的提升．某科技公司开发了一款学习类的闯关益智游戏，每一关的难度分别有“容易”“适中”“困难”三个档次，并且下一关的难度与上一关的难度有关，若上一关的难度是“容易”或者“适中”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为 $\frac{1}{6}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}$ ，若上一关的难度是“困难”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为 $\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}$ ，已知第1关的难度为“容易”．

(1)、求第3关的难度为“困难”的概率；

(2)、用 $P_{n}$ 表示第 $n$ 关的难度为“困难”的概率，求 $P_{n}$ ．

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19、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A B = A A_{1} = 2$ ， $∠ A_{1} A B = \frac{π}{3}$ ，侧面 $C D D_{1} C_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ .

(1)、求证：平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $C D D_{1} C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A B_{1}$ 和平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成角的正弦值.

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20、在 $△ A B C$ 内，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b cos A - c cos B = (a - c) cos (A + C)$ ．

(1)、求角 $B$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ， $b = \sqrt{13}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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