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相关试卷

1、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前n项和， $3 a_{2} + S_{6} = 2025 ，$ 则 $a_{3} =$ （）

A、224 B、225 C、2024 D、2025

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2、已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{C C_{1}} =$ （）

A、 $\vec{C A}$ B、 $\vec{A C}$ C、 $\vec{A C_{1}}$ D、 $\vec{C_{1} A}$

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3、已知 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，则 $3 x + 4 y$ 的最大值（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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4、已知直线 $l_{1} : 3 x + 4 y + 10 = 0$ ， $l_{2} : 3 x + 4 y - 5 = 0$ ，两直线之间的距离为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5、已知 $f (x) = e^{a x} - x - 1$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x) \geq 0$ ；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $n \in Z^{*}$ ， $n \geq 2$ ，证明： $1 + 2^{\frac{1}{2}} + 3^{\frac{1}{3}} + \dots +$ $n^{\frac{1}{n}} > n + \ln (n + 2) - \ln 3$ ．

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ， $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点， $R$ 为椭圆上的一点，且 $△ R F_{1} F_{2}$ 的周长为 $6$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过 $F_{2}$ 作垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 与椭圆交于 $E, F$ 两点（点 $E$ 在第一象限）， $P, Q$ 是椭圆 $C$ 上位于直线 $l$ 两侧的动点，始终保持 $∠ Q E F = ∠ P E F$ ，求证：直线 $P Q$ 的斜率为定值.

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7、高中必修课程结束之后，学生需要从物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中选择三科，继续学习选择性必修课程．某地记者为了了解本地区高一学生的选择意向，随机采访了100 名学生作为样本进行情况调研，得到下表：

组别	选考科目	频数
第1 组	历史、地理、政治	20
第2 组	物理、化学、生物	17
第 3 组	生物、历史、地理	14
第 4 组	化学、生物、地理	12
第5 组	物理、化学、地理	10
第6 组	物理、生物、地理	9
第7组	化学、历史、地理	7
第8组	物理、历史、地理	5
第 9 组	化学、生物、政治	4
第 10 组	生物、地理、政治	2
		合计： 100

(1)、从样本中随机选1 名学生，求该学生选择了化学的概率；

(2)、从第

8

组、第

9

组、第

10

组中，随机选2名学生，记其中选择政治的人数为

X

，求

X

的分布列和期望．

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8、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = 25$ ， $a_{2} + a_{5} + a_{10} = 31$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式以及前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = 3^{n} \cdot a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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9、两个等差数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 、 $T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{5 n + 2}{n + 3}$ ，则 $\frac{a_{2} + a_{20}}{b_{7} + b_{15}}$ 等于

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10、已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{3} - a x - b + 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $a = 3$ 时，若 $f (x)$ 有三个零点，则b的取值范围为 $(- 4, 0)$ B、若 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = 3 - f (x)$ ，则 $a + b = - 1$ C、若过点 $(2, m)$ 可作出曲线 $g (x) = f (x) - 3 x + a x + b$ 的三条切线，则 $- 5 < m < - 4$ D、若 $f (x)$ 存在极值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) = f (x_{1})$ ，其中 $x_{0} \neq x_{1}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{0} = 3$

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11、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > n > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 有共同的焦点 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 为两曲线的一个公共点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{\circ}$ ，椭圆的离心率为 $e_{1}$ ，双曲线的离心率为 $e_{2}$ ，那么 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2}$ 最小为（）

A、 $\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2}$

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12、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 \ln x$ 的图像在 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $B (x_{2}, f (x_{2}))$ 两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 2$ B、 $x_{1} + x_{2} = \frac{10}{3}$ C、 $x_{1} x_{2} = 2$ D、 $x_{1} x_{2} = \frac{10}{3}$

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13、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 5 a_{2} + 6 a_{1}$ ，则公比 $q$ 为（）

A、1或5 B、5 C、1或 $- 5$ D、5或 $- 1$

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14、设 ${(1 + x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n} (n \in N^{*})$ ，若 $a_{1} = a_{5}$ ，则 $n$ 的值为（）

A、4 B、6 C、7 D、8

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15、欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为 $e^{i x} = cos x + isin x$ ， i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（ $e$ 为自然对数的底数，i为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（）

A、复数 $e^{i \frac{π}{2}}$ 为纯虚数 B、复数 $e^{i 3}$ 对应的点位于第二象限 C、复数 $e^{i \frac{π}{3}}$ 的共轭复数为 $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$ D、复数 $e^{i θ} (θ \in [0, π])$ 的模长为1

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16、已知正 $n (n \geq 3)$ 棱锥的侧棱长为3，则其体积可能为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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17、已知命题 $p : \forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + m \geq 0$ ，若 $p$ 为真命题，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, - 1]$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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18、设等比数列： $a, p_{1}, p_{2}, \dots, p_{s}, b, q_{1}, q_{2}, \dots, q_{t}, c$ 的公比为q，其中 $s, t$ 都为正奇数， $a, b, c$ 构成单调递增的正项等差数列．

(1)、求证： $|q| > 1$ ；

(2)、求证： $s > t$ ；

(3)、把 $p_{1} p_{2} \dots p_{s} q_{1} q_{2} \dots q_{t}$ 用 $a, c, s, t$ 表示．

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19、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2 A A_{1} = 4$ ， O为AB的中点，D为 $A_{1} O$ 的中点．

(1)、证明： $A D ⊥$ 平面 $A_{1} O C$ ；

(2)、求平面 $A_{1} B C$ 与平面 $A_{1} O C$ 夹角的余弦值．

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20、已知 $\vec{a} = (x - 2, 2 x - 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x =$ ．

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