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相关试卷

1、已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积．

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2、已知向量 $\vec{a} = (1, 2, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1, - 1)$ .

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $| 2 \vec{a} - \vec{b} |$ ；

(3)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + λ \vec{b}) (λ \in R)$ ，求 $λ$ 的值.

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3、已知抛物线 $D : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，准线为l，点P在D上，PA与l垂直，垂足为A，若 $|P A| = |A F|$ ，则 $△ P A F$ 的面积等于.

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4、等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{5} = 24$ ，公差 $d = - 3$ ，则 $a_{13} =$ ．

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5、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点 $E, F$ ，且 $E F = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .则下列结论中正确的有（）

A、当 $E$ 向 $D_{1}$ 运动时， $A E ⊥ C F$ 总成立 B、当 $E$ 向 $D_{1}$ 运动时，二面角 $A - E F - B$ 逐渐变小 C、二面角 $E - A B - C$ 的最小值为 $45 °$ D、三棱锥 $A - B E F$ 的体积为定值

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6、已知 $F$ 为抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点， $A$ 为抛物线上的一点， $|A F| = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、焦点 $F (1, 0)$ B、准线方程 $y = - 1$ C、点 $A (1, 2)$ 或 $A (1, - 2)$ D、以 $A F$ 为直径的圆与抛物线的准线相切

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7、已知集合 $M = \{(x, y) | 2 x + y - 4 = 0\}$ ， $N = \{(x, y) | x^{2} + y^{2} + 2 m x + 2 n y = 0\}$ ，若 $M \cap N \neq \emptyset$ ，则 $m^{2} + n^{2}$ 的最小值（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $6 - 2 \sqrt{5}$ D、 $\frac{5}{4}$

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8、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = 2 x$ ，则该双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ D、 $\sqrt{13}$

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9、已知圆O₁：x²+y²=1，圆O₂：（x–3）²+（y–4）²=16，则两圆的位置关系为

A、外切 B、内切 C、相交 D、外离

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10、如图，在平行六面体 $A B C D − A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{B D_{1}} =$ （）

A、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ B、 $− \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\vec{a} − \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b} − \vec{c}$

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11、已知函数 $f (x) = \frac{4}{x - 1} ， (x > 1)$
（1）判断函数 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明；
（2）若 $f (- a + 2) > f (2 a + 1)$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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12、若定义在R上的奇函数 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增，且 $f (2) = 0$ ，下列选项正确的是（）

A、方程 $f (x) = 0$ 有三个不同的实根 B、 $f (x)$ 在R上单调递增 C、不等式 $x f (x) \leq 0$ 的解集为 $[- 2, 2]$ D、不等式 $\frac{f (x)}{x + 1} > 0$ 的解集是 $(- \infty, - 2) \cup (- 1, 0) \cup (2, + \infty)$

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13、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ ，对 $\forall x$ ， $y > 0$ 满足 $f (x + y) = f (x) + f (y) - 2$ ， $f (3) = 0$ ，且对 $\forall x_{1}, x_{2} > 0$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则关于a的不等式 $f (a^{2} - 2 a - 3) \geq \frac{4}{3}$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 1 - \sqrt{5}] \cup [1 + \sqrt{5}, + \infty)$ B、 $[1 - \sqrt{5}, - 1] \cup [3, 1 + \sqrt{5}]$ C、 $[1 - \sqrt{5}, 1 + \sqrt{5}]$ D、 $[1 - \sqrt{5}, - 1) \cup (3, 1 + \sqrt{5}]$

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14、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）

A、 $y = x + 1$ B、 $y = x |x|$ C、 $y = \frac{1}{x}$ （ $x < 0$ ） D、 $y = - x^{2}$

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15、我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用 $C$ （万元）与隔热层厚度 $x$ （厘米）满足关系式： $C (x) = \frac{k}{3 x + 8} (0 \leq x \leq 10)$ ，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，设 $f (x)$ 为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和.

(1)、求 $k$ 值和 $f (x)$ 的表达式；

(2)、当隔热层修建多少厘米厚时， $f (x)$ 最小？请说明理由并求出 $f (x)$ 的最小值.

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16、已知A(-1，1)，B(1，1)，C(2， $\sqrt{3}$ +1)，
(1)求直线AB和AC的斜率.
(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的变化范围.

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17、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ ，若存在 $x_{0}$ 使得 $f (x_{0}) = f^{'} (x_{0})$ ，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是（）

A、 $f (x) = x^{2}$ B、 $f (x) = e^{- x}$ C、 $f (x) = \ln x$ D、 $f (x) = \tan x$

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18、已知函数 $f (x) = - 2 {(\frac{1}{2})}^{| x |} + a$ ，其图象无限接近直线 $y = 1$ 但又不与该直线相交，则 $f (x) > \frac{1}{2}$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- 1, 1)$

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19、已知随机变量 $X \sim B (n, p)$ ，若 $D (2 X) = 2 E (X)$ ，则 $p =$ （）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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20、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，利用公式 $\{\begin{cases} x^{'} = a x + b y \\ y^{'} = c x + d y \end{cases}$ ①（其中 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 为常数），将点 $P (x, y)$ 变换为点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 组成的正方形数表 $(\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array})$ 唯一确定，我们将 $(\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array})$ 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母 $A$ ， $B$ ， …表示．

(1)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将点 $P (3, 4)$ 绕原点 $O$ 按逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得到点 $P^{'}$ （到原点距离不变），求点 $P^{'}$ 的坐标；

(2)、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将点 $P (x, y)$ 绕原点 $O$ 按逆时针旋转 $α$ 角得到点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ （到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；

(3)、向量 $\vec{O P} = (x, y)$ （称为行向量形式），也可以写成 $(\begin{array}{l} x \\ y \end{array})$ ，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为： $(\begin{array}{l} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}) (\begin{array}{l} x \\ y \end{array})$ ，则称 $(\begin{array}{l} x^{'} \\ y^{'} \end{array})$ 是二阶矩阵 $(\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array})$ 与向量 $(\begin{array}{l} x \\ y \end{array})$ 的乘积，设 $A$ 是一个二阶矩阵， $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 是平面上的任意两个向量，求证： $A (\vec{m} + \vec{n}) = A \vec{m} + A \vec{n}$ ．

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