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相关试卷

1、摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，开启后的第8分钟这一时刻，游客甲和乙首次距离地面高度相同，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为 $H$ 米，下列说法正确的是（）

A、 $H$ 关于 $t$ 的函数解析式为 $H = 25 \sin (\frac{π}{12} t - \frac{π}{6}) + 35$ B、开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同 C、开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米 D、开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降）

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2、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ， $\vec{c} = (2 m, n - 1)$ ，则（）

A、 $|\vec{a} - \vec{b}| = 5$ B、当 $\vec{b} // \vec{c}$ 时， $4 m + n = 1$ C、当 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ 时， $m + 2 n = 2$ D、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标为 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

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3、我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若 $\vec{B C} = \vec{a}, \vec{B A} = \vec{b}, \vec{B E} = 3 \vec{E F}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{12}{25} \vec{a} - \frac{16}{25} \vec{b}$ B、 $\frac{16}{25} \vec{a} + \frac{12}{25} \vec{b}$ C、 $\frac{12}{25} \vec{a} + \frac{9}{25} \vec{b}$ D、 $\frac{9}{25} \vec{a} - \frac{12}{25} \vec{b}$

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4、互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点 $P$ 作两坐标轴的平行线，其在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距 $a, b$ 分别作为点 $P$ 的 $x$ 坐标和 $y$ 坐标，记 $P (a, b)$ .若斜坐标系中， $x$ 轴正方向和 $y$ 轴正方向的夹角为 $θ$ ，则该坐标系中 $M (x_{1}, y_{1})$ 和 $N (x_{2}, y_{2})$ 两点间的距离为（）

A、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} + 2 (x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) cos θ}$ B、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} - 2 (x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) cos θ}$ C、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} + 2 |(x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2})| cos θ}$ D、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} - 2 |(x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2})| cos θ}$

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5、已知向量 $\vec{a} = (1, 3), \vec{b} = (- 2, 4)$ ，且 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $μ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} - μ \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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6、已知等边三角形 $A B C$ 的边长是 $2$ ， $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点，则 $\vec{B E} \cdot \vec{C D} =$ （）

A、 $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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7、已知 $\vec{A B} = (- 1, \cos α)$ ， $\vec{B C} = (2, 0)$ ， $\vec{C D} = (2, 2 \sin α)$ ，若 $A$ ， $B$ ， $D$ 三点共线，则 $\tan α =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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8、在 $△ A B C$ 中， $B C = 2$ ， $A B = 4, cos C = - \frac{1}{4}$ ，则 $A C$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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9、已知在平面四边形 $B C D E$ 中， $E B = B C = C D = 2$ ， $∠ E B C = 150 °$ ， $∠ B C D = 60 °$ ．将 $△ E B D$ 沿BD翻折至 $△ A B D$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $F$ 在线段BD上，且 $B F = λ B D$ ， $0 < λ < 1$ ．

(1)、求证： $A B ⊥$ 面 $B C D$ ；

(2)、求三棱锥 $A - B C D$ 外接球的半径；

(3)、求直线CF与平面 $A C D$ 所成角的正弦值的取值范围．

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10、每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{2}{3}$ ；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．

(1)、若 $q = \frac{5}{6}$ ，求乙恰好有一轮胜出的概率；

(2)、若甲，乙各有一轮胜出的概率为 $\frac{9}{50}$ ，甲，乙两轮都胜出的概率为 $\frac{6}{25}$ ．
①求p，q的值；
②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率．

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11、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\cos^{2} C + \sin^{2} B = 2 - \cos^{2} A - \sin A \sin C$ ．

(1)、求角B；

(2)、若 $∠ A B C$ 的角平分线交AC于点D， $a = 3$ ， $c = 4$ ，求BD；

(3)、若 $△ A B C$ 的外接圆的半径为 $\sqrt{3}$ ，求 $2 c - a$ 的取值范围．

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12、已知函数 $f (x) = \log_{3} x + b \log_{x} 9 + 2$ ， $x \in (0, 1) \cup (1, + \infty)$ ．

(1)、若 $b = - 1$ ，求方程 $f (x) = 1$ 的解；

(2)、 $\exists θ \in [- \frac{2π}{3}, \frac{2π}{3}]$ ，不等式 $f (x) \geq 3 \sin θ + 8$ 对于 $\forall x \in [3, 27]$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围．

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13、某校高一（三）班数学研究小组随机抽取100名同学，获得了他们一周课外锻炼时长（单位：小时）的数据，并整理得到相应的频数分布表和频率分布直方图，如表（一），图（一）所示
组号
分组
频数

1
$[0, 2)$
5
2
$[2, 4)$
7
3
$[4, 6)$
13
4
$[6, 8)$
18
5
$[8, 10)$
27
6
$[10, 12)$
a
7
$[12, 14)$
9
8
$[14, 16)$
4
9
$[16, 18)$
4
合计
100
表（一）
结合以上信息，回答下列问题：

(1)、求a，b的值；

(2)、假设同一组中的每个数据可用该组对应区间的中点值代替，试估计样本中的100名同学该周课外锻炼时长的平均数；

(3)、试估计样本中的100名同学该周课外锻炼时长的中位数．（保留三位有效数字）

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14、已知正四面体 $P - A B C$ 的四个顶点在球 $O$ 的球面上， $V_{P - A B C} = \frac{1}{3}$ ， Q为BC的中点，则过点 $Q$ 的平面截球 $O$ 所得截面圆的面积的取值范围是．

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 - 2^{x}, x \leq 1, \\ x^{2} - 4 x + 5, x > 1, \end{array}$ 若关于 $x$ 的方程 $f (f (x)) = a$ 有4个不相等的实数解，则实数 $a$ 的取值范围为．

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16、若数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{20}$ 的方差为3，则数据 $3 x_{1} - 2$ ， $3 x_{2} - 2$ ， …， $3 x_{20} - 2$ 的标准差为．

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17、已知函数 $f (x) = \sin x + \cos (\cos x)$ ，则下列结论正确的是（）

A、直线 $x = \frac{π}{2}$ 为函数 $f (x)$ 的图象的一条对称轴 B、函数 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 在 $[π, \frac{3 π}{2}]$ 上单调递增 D、 $\exists x \in R$ ， $f (x) \geq 1 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

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18、已知两条不同的直线a，b，三个不同的平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $α // β$ ， $a / / α$ ，则 $a / / β$ B、若 $a ⊥ β$ ， $b ⊥ γ$ ， $β // γ$ ，则 $a / / b$ C、若 $α ⊥ β$ ， $α ⊥ γ$ ， $β \cap γ = a$ ，则 $a ⊥ α$ D、若 $a ⊥ α$ ， $b \subset β$ ， $a ⊥ b$ ，则 $α ⊥ β$

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19、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立．设 $a = 16 f ({0.25}^{2})$ ， $b = f (1)$ ， $c = \log_{\frac{1}{4}} 3 \cdot f (\log_{\frac{1}{3}} 4)$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > b > a$ D、 $b > c > a$

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20、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2$ ，且 $| \vec{a} + \vec{b} | = | 2 \vec{a} - \vec{c} | = 3$ ，则 $| \vec{c} - \vec{b} |$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{3} + 3$ B、 $2 \sqrt{3} + 4$ C、 $3 \sqrt{2} + 3$ D、 $3 \sqrt{2} + 4$

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组号	分组	频数
1	$[0, 2)$	5
2	$[2, 4)$	7
3	$[4, 6)$	13
4	$[6, 8)$	18
5	$[8, 10)$	27
6	$[10, 12)$	a
7	$[12, 14)$	9
8	$[14, 16)$	4
9	$[16, 18)$	4
合计		100