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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - x^{2} - 2 a x + a, x < 1, \\ l n x - a, x \geq 1, \end{matrix}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是 $(- \infty, - 1]$ B、若 $f (x)$ 有3个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是 $(0, + \infty)$ C、若 $f (x)$ 有3个不同的零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，则 $x_{1} + x_{2} - x_{3}$ 的取值范围是 $(- \infty, - 1)$ D、存在实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 有最小值

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2、已知点 $M$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点，则下列说法正确的是（）

A、若 $∠ A B C = \frac{π}{6}, A B = 4, B C = 5$ ，则 $\vec{A B}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $\frac{2 \sqrt{3}}{5} \vec{B C}$ B、若 $\vec{M A}, \vec{M B}, \vec{M C}$ 两两的夹角相等，且 $|\vec{M A}| = 1, |\vec{M B}| = 1, |\vec{M C}| = 3$ ，则 $|\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = 2$ C、若 $(\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} \cdot \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形 D、若 $\vec{A M} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，且 $x + y = \frac{1}{3}$ ，则 $△ M B C$ 的面积是 $△ A B C$ 面积的 $\frac{2}{3}$

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3、下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = a^{2 x - 2} - 3 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象恒过点 $(1, - 2)$ B、函数 $f (x) = {log}_{2} 2^{x}$ 与 $g (x) = \frac{x^{2}}{x}$ 表示同一个函数 C、函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 3} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 3}} + 1$ 的最小值为3 D、若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 ${x ∣ x < - 2$ 或 $x > 1}$ ，则 $a b c > 0$

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4、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, f (x + 1)$ 是偶函数， $f (x + 2)$ 是奇函数，且当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) = a x^{2} + b$ ，若 $f (0) + f (3) = 4$ ，则 $f (\frac{17}{2}) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{7}{3}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、3

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5、如图，一艘缉毒船在某海域巡逻，经过 $A$ 点时，发现北偏东 $80^{\circ}$ 方向，距离为 $60 (\sqrt{3} - 1) km$ 的 $B$ 点处有毒贩正驾驶小船以 $40 km / h$ 的速度往北偏东 $20^{\circ}$ 的方向逃窜，缉毒船立即以 $20 \sqrt{6} km / h$ 的速度前往缉捕，则缉毒船经过（） $h$ 恰好能抓获毒贩.

A、1 B、2 C、3 D、4

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6、已知 $D, E$ 分别是 $△ A B C$ 的边 $A B, A C$ 上的点，且满足 $\vec{A B} = 2 \vec{A D}, \vec{A C} = 3 \vec{E C}, B E$ 与 $C D$ 相交于点 $O$ ，连接 $A O$ 并延长交 $B C$ 于点 $F$ ，若 $\vec{A O} = λ \vec{A F}$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7、已知函数 $f (x) = 2^{x} + x - \frac{3}{2}, g (x) = {log}_{2} x + x - \frac{3}{2}, h (x) = 2 x - \frac{3}{2}$ 的零点分别为 $a, b, c$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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8、若 $\{{\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}\}$ 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是（）

A、 $\{{\vec{e}}_{1} - \frac{1}{2} {\vec{e}}_{2}, \frac{1}{2} {\vec{e}}_{2} - {\vec{e}}_{1}\}$ B、 $\{2 {\vec{e}}_{1} - {\vec{e}}_{2}, {\vec{e}}_{1} - \frac{1}{2} {\vec{e}}_{2}\}$ C、 $\{2 {\vec{e}}_{2} - 3 {\vec{e}}_{1}, 6 {\vec{e}}_{1} - 4 {\vec{e}}_{2}\}$ D、 $\{{\vec{e}}_{1} + {\vec{e}}_{2}, {\vec{e}}_{1} + 2 {\vec{e}}_{2}\}$

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9、不等式 $\frac{2 x - 1}{1 - x} \geq 1$ 的解集是（）

A、 $\{x ∣ \frac{1}{2} \leq x < 1\}$ B、 $\{x ∣ x \leq \frac{1}{2}$ 或 $x > 1\}$ C、 $\{x ∣ \frac{2}{3} \leq x < 1\}$ D、 $\{x ∣ x \leq \frac{2}{3}$ 或 $x > 1\}$

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10、已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴非负半轴重合，终边过点 $P (- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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11、已知集合 $A = \{0, a\}, B = \{1, a^{2} - 2, 1 - a\}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\pm \sqrt{2}$ D、2或 $- 1$

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12、已知函数 $f (x) = \ln x - a x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 只有一个零点，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $g (x) = e^{x - 1} + x f (x)$ ，若 $g (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 \cdot 2^{n + 1}$ .

(1)、证明：数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 为等差数列，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{(n + 1) a_{n}}{3 n - 2}$ ，记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .
（ⅰ）求 $S_{n}$ ；
（ⅱ）若 $\forall n \in N^{*}$ ， $S_{n} < m \cdot 3^{n + 1}$ 成立，求 $m$ 的取值范围.

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14、已知函数 $f (x) = \frac{3}{2} x^{2} - 6 a x + b \ln x + 2 a^{2} (a, b \in R)$

(1)、若 $f (x)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $4 x - 2 y - 1 = 0$ ，求a与b的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处有极值 $- \frac{5}{2}$ ，求a与b的值.

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15、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} = 28$ ，且 $3 a_{2} = 2 a_{1} + a_{3}$ ，公比 $q \neq 1$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = {(- 1)}^{n + 1} \cdot a_{n}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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16、令 $f (x) = x^{2}$ ，对抛物线 $y = f (x)$ 持续实施下面“牛顿切线法”的步骤：
在点 $(1, 1)$ 处作抛物线的切线交 $x$ 轴于 $(x_{1}, 0)$ ；
在点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 处作抛物线的切线，交 $x$ 轴于 $(x_{2}, 0)$ ；
在点 $(x_{2}, f (x_{2}))$ 处作抛物线的切线，交 $x$ 轴于 $(x_{3}, 0)$ ；
……
得到一个数列 $\{x_{n}\}$ ，则 $x_{1}$ 的值为；数列 $\{x_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ .

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17、已知函数 $f (x) = x - \frac{4}{x}$ ，则不等式 $f (t^{2} + 3) + f (- 2 t^{2} + t - 1) > 0$ 的解集为．

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18、等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{3} + a_{5} + a_{7} = 30$ ，则 $a_{1} + a_{9}$ 的值为．

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19、已知函数 $f (x) = x e^{x} + a x (a \in R)$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $a = 0$ 时， $f (x) \geq - \frac{1}{e}$ B、当 $a = 1$ 时，直线 $y = 2 x$ 与函数 $f (x)$ 的图象相切 C、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上单调递增，则 $a \geq 1$ D、若在区间 $[0, 1]$ 上 $f (x) \leq x^{2}$ 恒成立，则 $a$ 的最大值为 $1 - e$

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20、曲线 $y = x^{3} - x + 1$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 2 x - 1$ B、 $y = - 2 x + 1$ C、 $y = x - 1$ D、 $y = - x + 1$

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