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相关试卷

1、已知圆 $C$ 经过 $A (2, - 1)$ ， $B (0, 5)$ ，且圆心在直线 $x - y + 1 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ ： $y = k x + 4$ 截得圆 $C$ 弦长最短时，求实数 $k$ 的值.

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2、如图所示，由半椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{16} = 1 (x < 0)$ 和两个半圆 $C_{2} : x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4 (x \geq 0)$ ， $C_{3} : x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4 (x \geq 0)$ 组成曲线 $C : F (x, y) = 0$ ，其中点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是 $C_{1}$ 的上、下焦点和 $C_{2}$ 、 $C_{3}$ 的圆心.若过点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 作两条平行线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 分别与 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 和 $C_{1}$ 、 $C_{3}$ 交于 $P$ 、 $Q$ 和 $M$ 、 $N$ ，则 $|M N| + |P Q|$ 的最小值为.

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3、记数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2 a_{n + 1}}, a_{1} = 2$ ，则 $a_{2024} =$ .

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4、已知抛物线 $E$ ： $x^{2} = 2 p y$ （ $p > 0$ ）上一点 $M$ 到其焦点 $F$ 的距离与到 $x$ 轴的距离之差为2，则 $p =$ .

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5、定义 $[m]$ 为不超过 $m$ 的最大整数，例如： $[3] = 3$ ， $[\sqrt{5}] = 2$ .已知集合 $S_{1} = \{a_{1}\}$ ，且 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n + 1} [a_{n}] = \{\begin{array}{l} \frac{{[a_{n}]}^{2}}{a_{n} - [a_{n}]}, a_{n} - [a_{n}] \neq 0 \\ a_{n}^{2}, a_{n} - [a_{n}] = 0 \end{array}$ ， $S_{n + 1} = S_{n} \cup \{a_{n + 1}\}$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $a_{1} = \frac{17}{10}$ ，则 $S_{3} = \{\frac{17}{10}, \frac{10}{7}, \frac{7}{3}\}$ B、若 $a_{1} = \sqrt{5}$ ，则 $S_{n}$ 的真子集个数为 $2^{n} - 1$ C、记 $T_{n}$ 为 $S_{n}$ 中所有元素之和，且 $T_{n} = n a_{n - 1}$ （ $n \geq 2$ ），则数列 $\{a_{n}\}$ 的单调性无法确定 D、若 $a_{1} = \sqrt{m^{2} + 2 m}$ （ $m \in N^{*}$ ），正整数 $n_{0}$ 满足：对任意 $m \in N^{*}$ ， $n \geq n_{0}$ ，都有 $S_{n + 1} = S_{n}$ ，则 $n_{0}$ 的最小值为3

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6、如图，点 $P$ 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的面对角线 $B C_{1}$ 上运动 $(P$ 点异于 $B, C_{1}$ 点），则下列结论正确的是（）

A、异面直线 $B D$ 与 $A B_{1}$ 所成角为60° B、 $A_{1} P ⊥ B_{1} D$ C、三棱锥 $P - A C D_{1}$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ D、直线 $A_{1} P$ 与平面 $A D_{1} C_{1} B$ 所成角的正弦值的取值范围为 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3}]$

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7、已知双曲线 $Γ$ ： $y^{2} - \frac{x^{2}}{m^{2}} = 1$ 的上焦点为 $F$ ，直线 $l$ ： $m x + y = 0$ 是 $Γ$ 的一条渐近线， $P$ 是 $Γ$ 上支上的一点， $O$ 为坐标原点，则（）

A、 $F$ 到 $l$ 的距离为2 B、 $Γ$ 的焦距为 $\sqrt{2}$ C、 $Γ$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ D、若 $A (2, 3 \sqrt{2})$ ，则 $|P A| + |P F|$ 的最小值为4

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8、已知正四面体 $A B C D$ 的顶点 $B$ ， $C$ ， $D$ 均在球 $O$ 的表面上，球心 $O$ 在平面 $B C D$ 内，棱 $A B$ 与球面交于点 $P$ .若 $A \in$ 平面 $α_{1}$ ， $B \in$ 平面 $α_{2}$ ， $C \in$ 平面 $α_{3}$ ， $D \in$ 平面 $α_{4}$ ， $α_{i} ∥ α_{i + 1}$ （ $i = 1, 2, 3$ ）且 $α_{i}$ 与 $α_{i + 1}$ （ $i = 1, 2, 3$ ）之间的距离为同一定值，棱 $A C$ ， $A D$ 分别与 $α_{2}$ 交于点 $Q$ ， $R$ ，若 $△ P Q R$ 的周长为 $\frac{2 (\sqrt{21} + \sqrt{3})}{3}$ ，则球 $O$ 的半径为（）

A、2 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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9、在 $△ A B C$ 中，已知 $B C = 5$ ， $A C = 2$ ， $∠ A C B = \frac{π}{3}$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点， $E$ 是线段 $A D$ 上一点，且 $A E = \frac{1}{3} A D$ .连接 $C E$ 并延长交 $A B$ 于点 $P$ ，则线段 $C P$ 的长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{127}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{129}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{133}}{5}$ D、 $\frac{12}{5}$

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10、已知函数 $f (x) = - sin \frac{x}{2}$ ， $g (x) = 4 sin (ω x + \frac{π}{6})$ （ $ω > 0$ ），若 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在区间 $[0, 2 π]$ 上有且仅有3个交点，则 $ω$ 的最小值是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\frac{23}{12}$ D、 $\frac{17}{12}$

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11、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若椭圆上一点P满足 $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ，且 $|P F_{1}| = 2 |P F_{2}|$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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12、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $\frac{S_{n}}{a_{n}} = \frac{n + 1}{2}$ ，则 $\frac{a_{5}}{a_{9}} =$ （）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{9}{5}$ C、 $\frac{9}{25}$ D、 $\frac{25}{9}$

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13、以点 $A (2, 3)$ 为圆心，且与 $x$ 轴相切的圆的标准方程为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 9$ B、 ${(x + 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$ C、 ${(x + 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4$ D、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$

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14、在复平面内，复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 对应的向量分别是 $\vec{O A} = (1, 2)$ ， $\vec{O B} = (2, 2)$ ，则 $|z_{1} + z_{2}| =$ （）

A、2 B、4 C、5 D、6

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15、已知集合 $M = \{x |y = ln (x - 1)\}$ ， $N = \{y |y = e^{x}\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(0, 1)$ D、 $[1, + \infty)$

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16、有以下判断，其中是正确判断的有（）

A、 $f (x) = \frac{|x|}{x}$ 与 $g (x) = \{\begin{matrix} 1, x \geq 0 \\ - 1, x < 0 \end{matrix}$ 表示同一函数 B、函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $x = 1$ 的交点最多有1个 C、 $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ 与 $g (t) = t^{2} - 2 t + 1$ 是同一函数 D、函数 $y = f (x + 1)$ 的定义域为 $[1, 2]$ ，则函数 $y = f (2 x - 1)$ 的定义域为 $[\frac{3}{2}, 2]$

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17、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l} x = - t, \\ y = \sqrt{3} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l} x = a + cos α, \\ y = sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的两不同交点 $A, B$ 满足 $\vec{O A} = 2 \vec{O B}$ ，求 $a$ 的值．

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18、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的点 $M (2, 1)$ 到焦点 $F_{1}, F_{2}$ 的距离之和为 $4 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $N (4, 0)$ 的直线交 $E$ 于 $A, B$ 两点，直线 $A M, B M$ 分别交直线 $x = 4$ 于 $P, Q$ 两点，求证： $|P N| = |Q N|$ ．

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19、已知在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是直角梯形，满足 $A D ∥ B C, A D ⊥ D C$ ，若 $P A = A D = D C = 2, B C = 3$ ，点 $M$ 为 $P D$ 的中点，点 $N$ 为 $P C$ 的三等分点（靠近点 $P$ ）．

(1)、求证： $P C ⊥$ 平面 $A M N$ ；

(2)、若线段 $P B$ 上的点 $Q$ 在平面 $A M N$ 内，求 $\frac{P Q}{P B}$ 的值．

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20、地球生命来自外星吗？一篇发布在《生物学快讯》上的文章《基因库的增长是生命起源和演化的时钟》可能给出了一种答案．该论文的作者根据生物功能性基因组里的碱基排列数的大小定义了基因库的复杂度y（单位：1），通过研究各个年代的古代生物化石里基因库的复杂度，提出了一个有趣的观点：生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的，只要知道生物基因库的复杂度就可以推测该生物体出现的年代．如图是该论文作者根据生物化石（原核生物，真核生物，蠕虫，鱼类，哺乳动物）中的基因复杂度的常用对数 $lg y$ 与时间 $x$ （单位：十亿年）的散点图及回归拟合情况（其中回归方程为： $lg y = 0.89 x + 8.64$ ，相关指数 $R^{2} = 0.97$ ）．根据题干与图中的信息，下列说法错误的是（）

A、根据信息生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的情况，不同于作者采取 $y$ 取常用对数的做法，我们也可采用函数模型 $y = \hat{b} \times 10^{\hat{a} x} + k$ 来拟合 B、根据回归方程可以得到，每过10亿年，生物基因库的复杂度一定增加到原来的 $10^{0.89} \approx 7.76$ 倍 C、虽然拟合相关指数为0.97，但是样本点只有5个，不能很好地阐释其统计规律，所以增加可靠的样本点可以更好地完善回归方程 D、根据物理界主流观点：地球的形成始于45亿年前，及拟合信息：地球在诞生之初时生物的复杂度大约为 $10^{8.64}$ ，可以推断地球生命可能并非诞生于地球

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