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相关试卷

1、已知无穷数列 ${a_{n}}$ 各项均为正数，且 $a_{n} + a_{n + 2} \geq 2 a_{n + 1} (n \in N^{*})$ .

(1)、请判断如下两个结论是否正确：
① $a_{4} - a_{2} \geq a_{3} - a_{1}$ ；② $3 (a_{7} - a_{6}) \geq a_{6} - a_{3}$ ；

(2)、当 $k < m < n$ $(k, m, n \in N^{*})$ 时，证明： $(n - m) a_{k} + (m - k) a_{n} \geq (n - k) a_{m}$ ；

(3)、记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{k} \leq 1 (k \in N^{*}, k \geq 3)$ ，证明： $a_{k} - a_{k + 1} < \frac{2}{k (k + 1)}$ .

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2、已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(0 ， 1)$ ，长轴长为4.

(1)、求椭圆E的方程及离心率；

(2)、若直线l： $y = k x + 2$ 与椭圆E交于A，B两点，过点B作斜率为0的直线与椭圆的另一个交点为D. 求证：直线AD过定点.

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3、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面ABCD， $A B ⊥ B C$ ， $A D //$ 平面 $P B C$ ， $P A = A C = 2$ .

(1)、证明： $A D ⊥ P B$ ；

(2)、再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求平面 $A C P$ 与平面 $B C P$ 夹角的余弦值．
条件①：点B到平面PAC的距离为1；
条件②：直线PC与平面PAB所成角的大小为30°.

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4、已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点（其中点A在第一象限），点A到抛物线C的准线的距离为 $\frac{3 p}{2}$ .

(1)、求直线l的斜率；

(2)、若 $| A B | = 9$ ，求 $p$ 的值.

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5、已知圆C经过点 $M (4, 0)$ ，且圆心C是直线 $x - y + 2 = 0$ 与 $y$ 轴的交点.

(1)、求圆C的方程；

(2)、若直线l与圆C交于A，B两点，且四边形 $C A M B$ 为菱形，求直线l的方程.

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $a_{1} = - 7$ ，且 $a_{2} + a_{4} = 2$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ 的最小值，以及 $S_{n}$ 取得最小值时n的值.

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7、已知方程 $y (y - x) = 2$ 所表示的曲线为C.给出以下四个结论：
①曲线C与y轴有两个不同交点；
②曲线C关于原点对称；
③x轴及直线 $y = x$ 为曲线C的两条渐近线；
④若曲线C与圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 有公共点，则r的最小值为 $\sqrt{2}$ .
其中，所有正确结论的序号是.

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8、已知点 $F (0, 1)$ ，直线 $l : y = - 1$ ，动圆P过点F，且与直线l相切，则圆心P的轨迹C的方程为；若直线 $y = k x$ 及 $y = - k x$ 分别与曲线C交于异于原点的M，N两点. 当直线MN过点F时， $k =$ .

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9、在棱长为2的正四面体 $A B C D$ 中，M，N分别是 $A B, C D$ 的中点，则 $| M N | =$ .

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10、直线 $l$ ： $x + y + 2 = 0$ 被圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 截得的弦AB的长为.

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11、已知平面α的一个法向量为 $\vec{a} = (x, 3, 2)$ ，平面β的一个法向量为 $\vec{b} = (- 1, y, 1)$ ，若 $α ∥ β$ ，则 $x + y =$ .

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12、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P为棱 $B B_{1}$ 的中点，Q为底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上一动点，则下列说法正确的是（）

A、存在点Q，使得BQ $⊥$ 平面 $A_{1} P D$ B、在棱 $A_{1} B_{1}$ 上存在点Q，使得 $D_{1} Q / /$ 平面 $A_{1} P D$ C、在线段 $B_{1} D_{1}$ 上存在点 $Q$ ，使得直线 $C Q$ 与 $A A_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ D、存在点 $Q$ ，使得三棱锥 $Q - A_{1} P D$ 的体积为2

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13、在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创造出独特的视觉效果. 某校数学兴趣小组设计了一个如图所示的“螺旋线”：点 $A_{1}$ ， $C_{1}$ 在直线l上， $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是边长为1的等边三角形， $\overset{⌢}{C_{1} A_{2}}$ 是以点 $A_{1}$ 为圆心， $A_{1} C_{1}$ 为半径的圆弧， $\overset{⌢}{A_{2} B_{2}}$ 是以点 $B_{1}$ 为圆心， $B_{1} A_{2}$ 为半径的圆弧， $\overset{⌢}{B_{2} C_{2}}$ 是以点 $C_{1}$ 为圆心， $C_{1} B_{2}$ 为半径的圆弧， $\overset{⌢}{C_{2} A_{3}}$ 是以点 $A_{1}$ 为圆心， $A_{1} C_{2}$ 为半径的圆弧，依次类推（其中点 $A_{1}$ ， $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ ，共线，点 $B_{1}$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ，共线，点 $C_{1}$ ， $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ ，共线）. 由上述圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，曲线H长度的最小值为（）

A、 $30π$ B、 $44π$ C、 $52π$ D、 $70π$

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14、设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，若双曲线渐近线的斜率均小于 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $e_{1} \cdot e_{2}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{3}{5} ， 1)$ B、 $(\frac{1}{5} ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{3}{5})$ D、 $(0 ， \frac{1}{5})$

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15、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中， $A (1 ， 0 ， 0)$ ， $B (0 ， 1 ， 0)$ ， $C (0 ， 0 ， 1)$ ， D是平面 $A B C$ 内一点，若 $\vec{O D} = x \vec{O A} + y \vec{O B} - \vec{O C}$ ，则 $|\vec{O D}|$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、3

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16、已知圆 $C : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ 及点 $A (1, 0)$ ，在圆 $C$ 上任取一点 $P$ ，连接 $C P$ ，将点 $P$ 折叠到点A，记 $C P$ 与折痕 $l$ 的交点为 $M$ （如图）. 当点 $P$ 在圆 $C$ 上运动时，点 $M$ 的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{12} = 1$

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17、已知向量 $\vec{a} = (0, 1, 0)$ ， $\vec{b} = (0, - 1, \sqrt{3})$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \vec{a}$ B、 $\vec{a}$ C、 $- \sqrt{3} \vec{b}$ D、 $\sqrt{3} \vec{b}$

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18、已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 8 y + m = 0$ 外切，则 $m =$ （）

A、 $- 9$ B、 $- 5$ C、7 D、13

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19、与直线 $2 x - y - 1 = 0$ 关于x轴对称的直线方程为（）

A、 $2 x + y + 1 = 0$ B、 $2 x + y - 1 = 0$ C、 $x - 2 y + 1 = 0$ D、 $x + 2 y + 1 = 0$

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20、直线 $y = \sqrt{3} x - 1$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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