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相关试卷

1、已知 $Ω$ 是棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体 $A B C D$ ，设 $Ω$ 的四个顶点到平面 $α$ 的距离所构成的集合为 $M$ ，若 $M$ 中元素的个数为 $k$ ，则称 $α$ 为 $Ω$ 的 $k$ 阶等距平面， $M$ 为 $Ω$ 的 $k$ 阶等距集.如果 $α$ 为 $Ω$ 的1阶等距平面且1阶等距集为 $\{m\}$ ，则符合条件的 $α$ 有个， $m$ 的所有可能取值构成的集合是.

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2、已知函数 $f (x) = - x^{3} + m x^{2} (m > 0), x \in [1, + \infty)$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = f (n), n \in N_{+}$ ，给出下列两个条件：①函数 $f (x)$ 是递减函数；②数列 $\{a_{n}\}$ 是递减数列.试写出一个满足条件②但不满足条件①的函数 $f (x)$ 的解析式： $f (x) =$ .

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3、已知公式 $e^{i x} = cos x + isin x$ ，其中 $i$ 是虚数单位，根据此公式计算 $i \cdot e^{- \frac{π}{4} i}$ 的虚部是.

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4、已知点 $F$ 是抛物线 $C : x^{2} = 8 y$ 的焦点，直线 $l$ 经过点 $F$ 交抛物线于 $A, B$ 两点，与准线交于点 $D$ ，且 $B$ 为 $A D$ 中点，则下面说法正确的是（）

A、 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ B、直线 $l$ 的斜率是 $k = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $|A B| = 9$ D、设原点为 $O$ ，则 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{26}{3}$

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5、下列命题正确的是（）

A、已知 $y$ 关于 $x$ 的回归方程为 $\hat{y} = 0.3 - 0.7 x$ ，则样本点 $(3, - 4)$ 的残差为 $- 2.2$ B、数据 $4, 6, 7, 7, 8, 9, 14, 11, 15, 19$ 的 $75 %$ 分位数为11 C、已知随机变量 $X \sim B (7, 0.5), P (X = k)$ 最大，则 $k$ 的取值为3或4 D、对于随机事件 $A$ 与 $B, P (A) > 0, P (B) > 0$ ，若 $P (A ∣ B) = P (A)$ ，则事件 $A$ 与 $B$ 相互独立

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6、设a，b∈R，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a⊗b＝ $\{\begin{array}{l} a, a ⩽ b \\ b, a > b \end{array}$ ；a⊕b＝ $\{\begin{array}{l} b, a ⩽ b \\ a, a > b \end{array}$ ，若m⊗n≥2，p⊕q≤2，则（）

A、mn≥4且p＋q≤4 B、m＋n≥4且pq≤4 C、mn≤4且p＋q≥4 D、m＋n≤4且pq≤4

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7、已知函数 $f (x) = sin ω x + a cos ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，且函数 $f (x + \frac{π}{3})$ 为奇函数，则当 $x \in [0, 2 π]$ 时，函数 $y = f (x) - cos x$ 的零点个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{c} = (m, - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{c})$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、3 C、4 D、7

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9、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线的倾斜角是 $\frac{π}{3}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、4

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10、已知集合 $A = {x ∣ 0 < x < 2}, B = \{x |\frac{1}{x - 1} > 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ 0 < x < 2}$ B、 ${x ∣ 1 < x < 2}$ C、 $\{x ∣ x > 0\}$ D、 $\{x ∣ x > 1\}$

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11、在空间四点O，A，B，C中，若 $\{\overset{⃑}{O A}, \overset{⃑}{O B}, \overset{⃑}{O C}\}$ 是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（）

A、O，A，B，C四点不共线 B、O，A，B，C四点共面，但不共线 C、O，A，B，C四点不共面 D、O，A，B，C四点中任意三点不共线

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12、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{a_{n + 2} + a_{n}}{2} \geq a_{n + 1}$ 对任意的正整数 $n$ 都成立，则称 $\{a_{n}\}$ 为 $V$ 数列.

(1)、设 $\{x_{n}\}$ 是等差数列， $\{y_{n}\}$ 是正项等比数列，记 $c_{n} = x_{n} + y_{n}$ ，证明：数列 $\{c_{n}\}$ 是 $V$ 数列；

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 为 $V$ 数列，且 $a_{1} = 1, a_{507} = 2025$ ，求证： $a_{6} \leq 21$ ；

(3)、若正项 $V$ 数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $a_{n} - a_{n + 1} < \frac{2 S_{n}}{n (n + 1)}$ .

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13、已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与 $\frac{y^{2}}{2} - x^{2} = 1$ 有相同的渐近线，且过点 $M (2, - \sqrt{2})$ .

(1)、求E的方程；

(2)、已知O为坐标原点，直线 $x - y + m = 0$ 与E交于P，Q两点，且 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = 4$ ，求m的值.

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14、某地为弘扬我国传统文化，举办知识竞赛活动，每位参赛者从以下两种方式中选择一种参赛：
①活动共设有3个问题，能正确回答问题者才能进入下一个问题，否则即被淘汰，3个问题都回答正确即获得“智慧星”称号；
②活动需参赛者回答5个问题，至少正确回答4个即能获得“智慧星”称号；甲乙两人参加此次竞赛活动，甲选择第一种方式，他能正确回答第一、二、三个问题的概率分别为 $\frac{3}{4}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}$ ，乙选择第二种方式，他能正确回答每一个问题的概率均为 $\frac{1}{3}$ ．两种方式下各个问题能否正确回答均互不影响，两人彼此之间也互不影响．

(1)、求甲没有获得“智慧星”称号的概率；

(2)、求乙获得“智慧星”称号的概率．

(3)、记事件 $M =$ “乙正确回答问题的个数比甲正确回答问题的个数多3个”，求事件 $M$ 发生的概率．

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15、已知函数 $f (x) = sin ω x + k$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线为 $y = 2 x + 1$ .

(1)、求 $ω, k$ 的值；

(2)、求函数 $g (x) = x - f (x) (x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{2}])$ 的单调区间与最大值.

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16、已知圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 与x轴和直线 $y = k x (k > 0)$ 都相切，两圆相交于M，N两点，其中点M的坐标为 $(3, 1)$ ，且两圆半径的乘积为5，则k的值为.

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = \frac{1}{3}$ ， $\frac{2}{a_{n}} = \frac{1}{a_{n - 1}} + \frac{1}{a_{n + 1}}$ （ $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ），则 $a_{2025} =$ ．

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18、 $(1 - 3 x) {(1 + 2 x)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为（用数字作答）

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19、曲线C是平面内与三个定点 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ 和 $F_{3} (0, 1)$ 的距离的和等于 $2 \sqrt{2}$ 的点的轨迹，P为C上一点，则（）

A、曲线C关于x轴对称 B、存在点P，使得 $|P F_{3}| = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $△ F_{1} P F_{2}$ 面积的最大值是1 D、存在点P，使得 $∠ F_{1} P F_{2}$ 为钝角

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20、设公比为q的等比数列 $\{a_{n}\}$ 前n项的积为 $T_{n}$ ，则（）

A、若 $T_{8} = 81$ ，则 $a_{3} \cdot a_{6} = 3$ B、若 $T_{9} > 0$ ，则必有 $a_{1} > 0$ C、若 $a_{1} > 1$ ， $0 < q < 1$ ，则 $T_{n}$ 有最大值 D、若 $a_{n} > 0$ ，则数列 $\{\lg T_{n}\}$ 一定是等差数列

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