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相关试卷

1、如图，用 6 种不同的颜色把图中 A，B，C，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（）

A、400 种 B、460 种 C、480 种 D、496 种

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2、用 $2, 3, 4, 5, 6$ 这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的奇数共有（）

A、24个 B、48个 C、60个 D、72个

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3、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(\sin x)}^{'} = - \cos x$ B、 $(\ln 2)^{'} = \frac{1}{2}$ C、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$ D、 ${(e^{2 x + 1})}^{'} = e^{2 x + 1}$

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4、设函数 $f (x) = \ln x + a (x - 1) (x - 2)$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，判断函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 在定义域内有两个不同的极值点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $f (x)$ 的两个不同的极值点为 $x_{1}, x_{2}$ ，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) > \frac{5}{9} + \ln \frac{9}{16}$ .

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ，

(1)、请证明 $\{a_{n} + 1\}$ 是等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、令 $b_{n} = (2 n + 1) (a_{n} + 1)$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 前 $n$ 项的和 $T_{n}$ ．

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6、已知椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的下焦点为 $F (0, - 2)$ ，其离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过 $F$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点（直线 $P Q$ 与坐标轴不垂直），过 $P, Q$ 作 $y$ 轴的垂线，垂足分别为 $M, N$ ，若直线 $P N$ 与 $Q M$ 交于点 $H$ ，证明：点 $H$ 的纵坐标为定值.

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7、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $D, E, F$ 分别是棱 $A B$ ， $B C$ ， $C P$ 的中点， $A B = A C = 1$ ， $P A = 2$ ．

(1)、求直线 $P A$ 与平面 $D E F$ 所成角的正弦值；

(2)、求点 $P$ 到平面 $D E F$ 的距离．

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8、某环保局派遣包括张三，李四，王五在内的12名工作人员到A，B，C三个镇开展环境保护的宣传工作，每个镇至少派遣3人，因工作需要，张三，李四，王五3人要派遣到同一个镇，则不同的派遣方案共有种．（结果用数字表示）

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9、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，若 $T_{5} = 32$ ，则 $a_{3} =$ .

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10、在二项式 ${(\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{2})}^{n}$ 的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是（）

A、 $n = 8$ B、展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C、常数项为 $\frac{1}{16}$ D、展开式中系数最大项为第3项和第4项

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11、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3 a^{2}} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若 $∣ F_{1} F_{2} ∣ = 2 e$ （ $e$ 为 $C$ 的离心率），则（）

A、 $a = 1$ B、 $C$ 的虚轴长为 $2 \sqrt{3}$ C、 $e = \sqrt{2}$ D、 $C$ 的一条渐近线的斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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12、用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（）

A、48个 B、60个 C、72个 D、120个

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13、若直线 $l_{1} : a x + 3 y - 6 = 0$ 与直线 $l_{2} : x + (a - 2) y - 2 = 0$ 平行，则 $a =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、3 D、 $- 3$

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14、已知非零向量 $\vec{a} = (2, 3, - 1)$ 和 $\vec{b} = (4, λ, - 2)$ 互相垂直，则 $λ$ 的值是（）

A、 $- 6$ B、 $6$ C、 $- \frac{10}{3}$ D、 $\frac{10}{3}$

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} > a_{n}$ ， ${(a_{n} - a_{n - 1})}^{2} = 2 (a_{n} + a_{n - 1}) - 1$ ， $n \geq 2$ .

(1)、求证： $\{a_{n + 1} - a_{n}\}$ 是等差数列；

(2)、记 $b_{n} = \frac{2 n + 1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和.

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16、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

(2)、若 $b_{n} = n - \frac{1}{2}$ ，令 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$

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17、已知曲线 $f (x) = x^{3} + 1$ ，设 $P$ 点坐标为 $P (1, 2)$ ，

(1)、求曲线在点 $P$ 处的切线方程；

(2)、求曲线过点 $P$ 的切线方程．

(3)、若曲线在点 $R$ 处的切线与曲线 $y = - x^{2} + 1$ 相切，求 $R$ 点的坐标

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18、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2}, a_{5}, a_{14}$ 成等比数列， $S_{5} = 25$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列，记 $b_{n} = {(- 1)}^{n} S_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前40项的和 $T_{40}$ .

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19、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 11$ ， $a_{4} + a_{7} = 4$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、当 $n$ 为何值时，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和取得最大值？

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20、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列 $\{a_{n}\}$ ，正方形数构成数列 $\{b_{n}\}$ ，则 $a_{10} =$ ； $\sum_{i = 1}^{10} \frac{1}{b_{i + 1} - a_{i + 1}} =$ .

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