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相关试卷

1、过双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个焦点 $F$ 作一条渐近线的垂线 $l$ ，垂足为点 $A$ ，直线 $l$ 与另一条渐近线相交于点 $B$ ，若 $A$ 是线段 $F B$ 的中点，则双曲线的渐近线为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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2、如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为 $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$ ，则 $C_{5} =$ （）

A、 $\frac{512}{27}$ B、 $\frac{256}{27}$ C、 $\frac{512}{9}$ D、 $\frac{256}{9}$

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3、比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（）

A、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

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4、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 9$ ，圆 $C_{2} : {(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系是（）

A、内含 B、外切 C、相交 D、外离

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5、若直线 $l_{1} : (1 - a) x + y + 1 = 0$ ，直线 $l_{2} : - 2 x + a y - 2 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、 $\frac{2}{3}$ C、2 D、3

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6、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + a_{3} = 6, a_{4} = 5$ ，则公差 $d =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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7、已知 $(\frac{1}{\tan \frac{α - β}{2}} - \tan \frac{α - β}{2}) [1 + \tan (α - β) \tan \frac{α - β}{2}] = 6$ ， $\tan α \tan (\frac{π}{2} - β) = 3$ ，则 $\cos (4 α + 4 β) =$ （）

A、 $- \frac{79}{81}$ B、 $\frac{79}{81}$ C、 $- \frac{49}{81}$ D、 $\frac{49}{81}$

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8、已知二面角 $α - l - β$ 的大小为 $\frac{π}{2}$ ，其棱 $l$ 上有 $A, B$ 两点， $A C, B D$ 分别在这个二面角的两个半平面 $α, β$ 内，且都与 $A B$ 垂直，已知 $A B = 1, A C = \sqrt{2}, B D = 2$ ，则 $C D =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{7}$

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9、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y 2}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 是双曲线C上位于第一象限的一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ ，设O为坐标原点，N为 $P F_{2}$ 的中点， $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线交线段ON于点M，若 $| O M | = | M N |$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、3

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10、在某次调查中，采用分层随机抽样的方法得到10个A类样本，30个B类样本.若A类样本的平均数为5.5，总体的平均数为4，则B类样本的平均数为.

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11、已知直线 $y = 2 x - 3$ 过抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ 的焦点，则 $p =$ ．

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12、已知 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是棱长为2的正方体.

(1)、求三棱锥 $D - A_{1} B C_{1}$ 的体积；

(2)、若 $N$ 是 $D_{1} C$ 的中点， $M$ 是 $B C_{1}$ 的中点，证明： $N M //$ 平面 $A B C D$ .

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13、降维类比和升维类比主要应用于立体几何的学习，将空间三维问题降为平面二维或者直线一维问题就是降维类比.平面几何中多边形的外接圆，即找到一点，使得它到多边形各个顶点的距离相等.这个点就是外接圆的圆心，距离就是外接圆的半径.若这样的点存在，则这个多边形有外接圆，若这样的点不存在，则这个多边形没有外接圆.事实上我们知道，三角形一定有外接圆，如果只求外接圆的半径，我们可通过正弦定理来求，我们也可以关注九年义教初中《几何》第三册第94页例2.的结论：三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商.借助求三角形外接圆的方法解决问题：若等腰梯形 $A B C D$ 的上下底边长分别为6和8，高为1，这个等腰梯形的外接圆半径为；轴截面是旋转体的重要载体，圆台的轴截面中包含了旋转体中的所有元素：高､母线长､底面圆的半径，通过研究其轴截面，可将空间问题转化为平面问题.观察图象，通过类比，我们可以找到一般圆台的外接球问题的研究方法，正棱台可以看作由圆台切割得到.研究问题：如图，正三棱台的高为1，上､下底面边长分别为 $3 \sqrt{3}$ 和 $4 \sqrt{3}$ ，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为.

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14、在 $△ A B C$ 中， $D, E$ 分别为 $A C, B C$ 的中点， $A E$ 交 $B D$ 于点 $M$ .若 $A B = 2, A C = 4$ ， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，则 $cos ∠ E M D =$ .

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15、如图，圆锥 $P O$ 的底面直径和高均为 $12$ ，过 $P O$ 上一点 $O^{'}$ 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱.则该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值为（）

A、 $12 π$ B、 $24 π$ C、 $36 π$ D、 $72 π$

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16、 $\bar{M N} - \vec{P Q} - \vec{M P} =$ （）

A、 $\vec{Q N}$ B、 $\vec{N Q}$ C、 $\vec{P M}$ D、 $\vec{M P}$

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17、如图，已知四边形 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $P A = 2$ ， M､N是线段 $P B$ ､ $D C$ 上的点，满足 $\frac{B M}{M P} = \frac{D N}{N C} = λ$ .

(1)、若 $λ = 1$ ，求证：直线 $M N$ $//$ 平面 $P D A$ ；

(2)、是否存在实数 $λ$ ，使直线 $M N$ 同时垂直于直线 $P B$ ，直线 $D C$ ？如果有请求出 $λ$ 的值，否则请说明理由；

(3)、若 $λ = 1$ ，求直线 $M N$ 与直线 $P D$ 所成最大角的余弦值.

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18、如图 $A 、 B$ 是在沿海海面上相距 $15 + 5 \sqrt{3}$ 海里的两个哨所， $B$ 位于 $A$ 的正南方向. $A$ 哨所在凌晨1点发现其南偏东 $30^{\circ}$ 方向处有一艘走私船，同时， $B$ 哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于 $A$ 点南偏西 $30^{\circ}$ 的 $D$ 点，且 $A$ 与 $D$ 相距 $20 \sqrt{3}$ 海里，试求：

(1)、刚发现走私船时，走私船与哨所 $A$ 的距离；

(2)、刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？

(3)、若缉私艇得知走私船以 $10 \sqrt{3}$ 海里/时的速度从 $C$ 向北偏东 $15^{\circ}$ 方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？

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19、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是菱形，且 $B C = D C = D B = A A_{1} = 2$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、求证：直线 $D E ⊥$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ；

(2)、求点 $E$ 到平面 $D_{1} D C C_{1}$ 的距离；

(3)、求直线 $B D_{1}$ 与平面 $D_{1} D C C_{1}$ 所成角的正弦值.

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $a sin C = c sin B, C = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，求 $B C$ 边上中线的长．

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