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相关试卷

1、如图，类似“心形”的曲线 $E$ ，可以看成由上部分曲线 $C_{1}$ ： $y = \sqrt{- x^{2} + 2 |x|}$ ，下部分曲线 $C_{2}$ ： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (y \leq 0)$ 构成，过曲线 $C_{2}$ 的焦点 $F (0, - 1)$ 的直线 $l$ 与曲线 $C_{2}$ 交于M，N两点， $P (x, y)$ 是“心形”曲线E上的动点，下列说法正确的是（）

A、 $C_{2}$ 的方程为 $\frac{y^{2}}{5} + \frac{x^{2}}{4} = 1 (y \leq 0)$ B、 $x^{2} + {(y - 1)}^{2}$ 的最大值为 $1 + \sqrt{5}$ C、直线 $y = x + m$ 与曲线E有4个交点，则m的取值范围为 $(0, \sqrt{2} - 1)$ D、 $△ O M N$ 面积的最大值为 $\sqrt{5}$

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2、如图，直线 $y = a x + 2$ 与曲线 $y = f (x)$ 交于 $A 、 B$ 两点，其中A是切点，记 $g (x) = f (x) - a x$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $g (x)$ 只有一个极值点 B、 $g (x)$ 有两个极值点，且极小值点小于极大值点 C、 $g (x)$ 的极小值点小于极大值点，且极小值为 $- 2$ D、 $g (x)$ 的极小值点大于极大值点，且极大值为2

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3、为了提高同学们对数学的学习兴趣，某高中数学老师把《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》这4本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班A，B，C三名同学有2名同学阅读其中的2本，另外一名同学阅读其中的1本，若4本图书都有同学阅读（不同的同学可以阅读相同的图书），则这三名同学选取图书的不同情况有（）

A、144种 B、162种 C、216种 D、288种

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4、设 $(1 + x) + {(1 + x)}^{2} + \dots + {(1 + x)}^{7} + {(1 + x)}^{8} + {(1 + x)}^{9} = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{8} x^{8} + a_{9} x^{9}$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、120 B、84 C、56 D、36

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5、数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点 $O$ 出发，每隔 $1$ 秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为 $\frac{2}{5}$ ，向左移动的概率为 $\frac{3}{5}$ ，共移动 $8$ 次，则质点位于 $- 2$ 的位置的概率是（）

A、 ${(\frac{2}{5})}^{4} {(\frac{3}{5})}^{4}$ B、 ${(\frac{2}{5})}^{6} {(\frac{3}{5})}^{2}$ C、 $C_{8}^{3} {(\frac{2}{5})}^{5} {(\frac{3}{5})}^{3}$ D、 $C_{8}^{5} {(\frac{2}{5})}^{3} {(\frac{3}{5})}^{5}$

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6、乘积 $(a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}) (b_{1} + b_{2} + b_{3})$ 展开后的项数有（）

A、 $7$ 项 B、 $9$ 项 C、 $12$ 项 D、 $16$ 项

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7、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + a ln x (a \in R) .$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - 4 x + 5$ 恰有两个极值点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ .
①求 $a$ 的取值范围；
②证明： $g (x_{1}) + g (x_{2}) > \ln a .$

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8、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) > x^{2}$ .

(3)、若 $x > 0$ 时， $f (x) - a x^{2} \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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9、计算：

(1)、 $A_{10}^{4}$ ；

(2)、 $\frac{A_{12}^{8}}{A_{12}^{7}}$ ；

(3)、若 $3 A_{8}^{x} = 4 A_{9}^{x - 1}$ ，求 $x$ 值.

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10、函数 $f (x) = x^{3}$ ，经过点 $A (1, m)$ $(m \neq 1)$ 可作曲线 $y = f (x)$ 的三条切线，则实数 $m$ 的取值范围是.

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11、若直线 $l : y = x + m$ 是曲线 $y = e^{x}$ 和曲线 $y = x^{2} + a$ 的一条公切线，则 $a =$ ．

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12、用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成个无重复数字的四位偶数．（用数字作答）

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13、已知函数 $f (x)$ 与其导函数 $f^{'} (x)$ 的部分图象如图所示，若函数 $g (x) = \frac{f (x)}{e^{x}}$ ，则下列的结论正确的是（）

A、 $f (3) > e f (2)$ B、 $g (x)$ 在区间 $(- 3, 1)$ 上单调递增 C、当 $x = 1$ 时，函数 $g (x)$ 有极小值 D、当 $x = - 3$ 时，函数 $g (x)$ 有极小值

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14、某种产品的加工需要经过5道工序，则以下说法正确的是（）

A、如果其中某道工序不能放在最后，那么有96种加工顺序 B、如果其中某2道工序不能放在最前，也不能放在最后，那么有36种加工顺序 C、如果其中某2道工序必须相邻，那么有24种加工顺序 D、如果其中某2道工序不能相邻，那么有72种加工顺序

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15、下列求导运算错误的是（）

A、 $(lg x)^{'} = \frac{1}{x ln 10}$ B、 ${(3^{x})}^{'} = 3^{x} {log}_{3} e$ C、 $(cos x)^{'} = sin x$ D、 ${(x^{- 2})}^{'} = - 2 x^{- 1}$

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16、已知函数 $f (x) = x^{2 b} + a x$ 的导数 $f^{'} (x) = 2 x + 3$ ，则数列 $\{\frac{1}{f (n) + 2}\} (n \in N^{*})$ 的前 $n$ 项和是

A、 $\frac{n}{n + 1}$ B、 $\frac{n - 1}{2 (n + 1)}$ C、 $\frac{n}{2 (n + 2)}$ D、 $\frac{n}{(n + 1) (n + 2)}$

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17、笛卡尔心形线的极坐标方程是 $ρ = a (1 - \sin θ) (a > 0)$ ．某同学利用GeoGebra电脑软件将 $f (x) = \sqrt{1 - {(|x| - 1)}^{2}}$ ， $g (x) = - 3 \sqrt{1 - \sqrt{\frac{|x|}{2}}}$ 两个画在同一直角坐标系中，得到了如图“心形线”．观察图形，当 $x > 0$ 时， $g (x)$ 的导函数 $g^{'} (x)$ 的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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18、甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）

A、12种 B、24种 C、36种 D、48种

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19、若函数 $y = f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处可导，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} - 2 Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}$ 等于（）

A、 $f^{'} (x_{0})$ B、 $2 f^{'} (x_{0})$ C、 $- 2 f^{'} (x_{0})$ D、 $0$

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20、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = 2 x f^{'} (\frac{π}{3}) - sin x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{3})$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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