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相关试卷

1、已知向量 $\vec{m} = (c o s α, - 1)$ ， $\vec{n} = (2, s i n α)$ ，其中 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．
$(1)$ 求 $c o s 2 α$ 的值；
$(2)$ 若 $s i n (α - β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，且 $β \in (0, \frac{π}{2})$ ，求角 $β$ ．

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2、已知 $△ A B C$ 中， $\vec{A O} = λ \vec{A B} + (1 - λ) \vec{A C}$ ，且 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心．若 $\vec{B A}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $μ \vec{B C}$ ，且 $\cos ∠ A O C \in [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]$ ，则 $μ$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{2}{3}, \frac{5}{6}]$ B、 $[\frac{1}{5}, \frac{3}{10}]$ C、 $[\frac{4}{3}, \frac{5}{3}]$ D、 $[\frac{1}{5}, \frac{3}{5}]$

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3、已知 $\sin α - 3 \cos α = 0$ ，则 $\frac{\sin α \cos 2 α}{\sqrt{2} \sin (α + \frac{π}{4})} =$ （）

A、 $- \frac{2}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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4、已知某圆台的上、下底面半径分别为 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ，且 $r_{2} = 3 r_{1}$ ，若半径为 $2 \sqrt{3}$ 的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（）

A、 $28 π$ B、 $\frac{28π}{3}$ C、 $\frac{56 π}{3}$ D、 $\frac{208 \sqrt{3} π}{3}$

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5、已知m，n是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面， $m \subset α, n \subset β$ ，下列结论中正确的是（）

A、若 $m ∥ n$ ，则 $α ∥ β$ B、若 $α ∥ β$ ，则 $m ∥ n$ C、若m与n不相交，则 $α ∥ β$ D、若 $α ∥ β$ ，则m与n不相交

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6、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为 $2$ 的正方形.
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）过点 $Q (1, 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点.点 $P (4, 3)$ ，记直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，当 $k_{1} \cdot k_{2}$ 最大时，求直线 $l$ 的方程.

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7、如图，已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 1$ ， $B B_{1} = 2$ ，连接 $B_{1} C$ ，过 $B$ 点作 $B_{1} C$ 的垂线交 $C C_{1}$ 于 $E$ ，交 $B_{1} C$ 于 $F$

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $E B D$ ；

(2)、求直线 $D E$ 与平面 $A_{1} B_{1} C$ 所成角的正弦值．

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8、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ ．
（1）求 $f (x)$ 的单调区间；
（2）求 $f (x)$ 在 $[0, 3]$ 上的最值．

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9、函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a, b, c, d \in R)$ 的图象如图所示，则下列结论正确的有（）

A、 $a > 0$ B、 $b < 0$ C、 $c < 0$ D、 $a + b + c > 0$

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10、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $\sqrt{3}$ ，则点 $A_{1}$ 到面 $A B_{1} D_{1}$ 的距离为（）

A、 $2$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $1$ D、 $\sqrt{5}$

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11、设函数 $f (x)$ 的导函数是 $f^{'} (x)$ .若 $f (x) = f^{'} (π) x^{2} - \cos x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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12、函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下面说法正确的是（）

A、 $x = 4$ 为函数 $f (x)$ 的极大值点 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 2, 1)$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 在区间 $(1, 3)$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(4, 5)$ 上单调递增

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13、已知函数 $f (x) = 2 x + 2 a l n x - \frac{1}{x} (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、已知 $a$ 为整数，若 $f (x)$ 在 $(2, 3)$ 上单调递减，且在 $(4, + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ ．

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14、将函数 $f (x) = 2 cos 4 x$ 图象上所有的点向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x) = 2 sin 4 x$ B、 $g (x) = - 2 sin 4 x$ C、 $g (x) = 2 sin (4 x - \frac{π}{8})$ D、 $g (x) = 2 sin (4 x + \frac{π}{8})$

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15、某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组 $[45, 55)$ ，第二组 $[55, 65)$ ，第三组 $[65, 75)$ ，第四组 $[75, 85)$ ，第五组 $[85, 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．

(1)、求 $a$ 、 $b$ 的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数；

(2)、在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，且满足 $2 b \cos C = 2 a - c$

(1)、求角 $B$ ；

(2)、如图，若 $△ A B C$ 外接圆半径为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点，且 $B D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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17、已知向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 满足 $\overset{⃑}{a} =$ （2，1）， $\overset{⃑}{b} =$ （1，y），且 $\overset{⃑}{a} ⊥ \overset{⃑}{b}$ ，则 $|\overset{⃑}{a} + 2 \overset{⃑}{b}|$ ＝（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $5 \sqrt{2}$ C、5 D、4

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18、如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形， $A B = A D = 4$ ， C为底面圆周上一动点， $∠ B C D = \frac{π}{3}$ ， PA为圆台的母线， $P A = 5$ ，圆台上底面的半径为1．

(1)、求该圆台的表面积；

(2)、求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积的最大值．

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19、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，重新定义两点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 之间的“距离”为 $|A B| = |x_{2} - x_{1}| + |y_{2} - y_{1}|$ ，我们把到两定点 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0) (c > 0)$ 的“距离”之和为常数 $2 a (a > c)$ 的点的轨迹叫“椭圆”．

(1)、求“椭圆”的方程；

(2)、根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；

(3)、设 $c = 1, a = 2$ ，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为 $C, C$ 的左顶点为 $A$ ，过 $F_{2}$ 作直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点， $△ A M N$ 的外心为 $Q$ ，求证：直线 $O Q$ 与 $M N$ 的斜率之积为定值．

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20、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为菱形， $∠ B C D = 120 °$ ， $M$ 为 $C D$ 的中点， $P C = P D = \sqrt{3}$ .

(1)、证明：平面 $A P M ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A D = 2$ ， $P A = 1$ ，求平面 $A P B$ 与平面 $A P D$ 夹角的正切值.

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