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相关试卷

1、如图是一个小球垒成的正三角形垛示意图，每一层的小球都排成一个正三角形，从下往上第二层起，每一层小球数比下一层小球数少的数量构成等差数列，底层每条边均为 $n$ 个小球 $(n \geq 3, n \in N^{*})$ .从下往上，设第 $k (k \leq n, k \in N *)$ 层的小球个数为 $a_{k}$ ，前 $k$ 层的小球总数为 $S_{k}$ .

(1)、当 $n = 5$ 时，求 $S_{5}$ ；

(2)、求 $a_{k}$ 关于 $n$ 和 $k$ 的表达式；

(3)、对于给定的 $n$ ，若 $S_{n}$ 能分解为两个连续正整数的乘积，求满足条件的 $n$ 的值.
参考公式： $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1); 1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} = {[\frac{1}{2} n (n + 1)]}^{2}$ .

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2、设抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的准线被圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 = 0$ 所截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，点 $F$ 是抛物线 $C$ 的焦点，过 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点，若 $△ A B O$ 的面积为 $8 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(3)、在(2)的条件下，若直线 $O A, O B$ 分别与抛物线 $C$ 的准线交于 $D, E$ 两点，求线段 $D E$ 的长度.

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3、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n + 1} = 3 S_{n} + 2$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = n - \frac{1}{2}$ ，令 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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4、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = 2$ ， $C C_{1} = 3$ ，点 $D, E$ 分别在棱 $A A_{1}$ 和棱 $C C_{1}$ 上，且 $A D = 1, C E = 2$ ， $M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $C_{1} M / /$ 平面 $B_{1} D E$ ；

(2)、若 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，求 $B M$ 与平面 $D B_{1} E$ 的所成角的正弦值.

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2 n + 2$ ，若 $a_{k_{1}}, a_{k_{2}}$ ， …， $a_{k_{n}}$ ， …是从 $\{a_{n}\}$ 中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列， $k_{1} = 1, k_{2} = 5$ ，令 $b_{n} = 2 n k_{n} + 2 n$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 为.

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6、已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{3}}{S_{6}} = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{S_{12}}{S_{9}} =$ ．

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7、已知函数 $f (x) = x^{2} + 1$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为．

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8、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足对任意的正整数 $n$ ，都有 $a_{n} + a_{n + 2} < 2 a_{n + 1}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 为“凸数列”．下列结论正确的是（）

A、若 $a_{n} = cos \frac{n π}{2}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 为“凸数列” B、若 $a_{n} = {log}_{2} n$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 为“凸数列” C、若单调递减数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则数列 $\{S_{n}\}$ 为“凸数列” D、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且数列 $\{S_{n}\}$ 为“凸数列”，则 $\{a_{n}\}$ 为单调递减数列

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9、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是 $B C, A A_{1}$ 上的中点， $P$ 是 $A_{1} C_{1}$ 上的动点.下列结论正确的是（）

A、平面 $A_{1} C_{1} E$ 截正方体所得截面为等腰梯形 B、平面 $B_{1} F C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} E$ C、当点 $P$ 为 $A_{1} C_{1}$ 中点时， $E P / /$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ D、存在点 $P$ ，使得 $D B_{1} ⊥ E P$

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10、已知点 $A (3, 0)$ ， $B (0, 4)$ ，点 $P$ 在圆 $C$ ： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ 上运动，则（）

A、直线 $A B$ 与圆 $C$ 相离 B、 $△ P A B$ 的面积的最小值为 $2$ C、圆 $C$ 上存在点 $P$ 使得 $∠ A P B = 90 °$ D、当 $∠ P B A$ 最小时， $|P B| = \sqrt{5}$

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = 6, a_{n + 1} = \{\begin{matrix} \frac{a_{n}}{2}, 当 a_{n} 为偶数时 \\ 3 a_{n} + 1, 当 a_{n} 为奇数时 \end{matrix} ，$ 则使得 $S_{n} \geq 2025$ 的最小整数 $n$ 的值为（）

A、851 B、852 C、853 D、854

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2} - 2 t n + 5, (n \in N^{*})$ ，若 $\{a_{n}\}$ 是单调递增数列，则实数t的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{3}{2})$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(- \infty, \frac{3}{2})$

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13、已知曲线 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且点 $P (1, 1)$ 是线段 $A B$ 的中点，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $- \frac{4}{9}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $- \frac{9}{4}$

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14、若等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{2} = 2$ ， $a_{5} a_{7} = 100$ ，则 $a_{4}$ 等于（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $\pm 2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\pm \sqrt{5}$

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15、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若 $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，则 $\vec{B M}$ 等于（）

A、 $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A_{1}}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A D} + \vec{A A_{1}}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \vec{A A_{1}}$ D、 $\vec{A B} - \vec{A D} + \vec{A A_{1}}$

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16、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(2^{x})}^{'} = x \cdot 2^{x - 1}$ B、 ${(\cos x)}^{'} = \sin x$ C、 ${(\sqrt{x})}^{'} = \frac{2}{\sqrt{x}}$ D、 ${(x ln x)}^{'} = 1 + ln x$

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n \in N^{*})$ ，则 $a_{4}$ 等于（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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18、已知曲线 $C : x y = 2$ ，过 $C$ 上点 $M (1, 2)$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1}, l_{2}$ ，其中 $l_{1}$ 与 $C$ 的另一交点为 $A$ ， $l_{2}$ 与 $C$ 的另一交点为 $B$ ．

(1)、写出曲线 $C$ 的对称轴（不需证明）

(2)、证明：曲线 $C$ 是双曲线；

(3)、若 $M$ 到直线 $A B$ 的距离为 $\sqrt{5}$ ，求直线 $A B$ 的方程．

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \{\begin{array}{l} a_{n} + 1, n 为奇数 \\ a_{n} + 2, n 为偶数 \end{array}$

(1)、证明 $\{a_{2 n - 1}\}$ 是等差数列；

(2)、求 $S_{2 n}$ ；

(3)、求证： $\frac{1}{S_{2}} + \frac{1}{S_{4}} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{1}{S_{2 n - 2}} + \frac{1}{S_{2 n}} < \frac{2}{3}$

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20、如图，在五面体 $A B C D E$ 中， $△ A B C$ 为边长为2的等边三角形， $E A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $C D // A E$ ， $C D = \frac{1}{2} A E$ .

(1)、求证：平面 $B D E ⊥$ 平面 $A B E$ ；

(2)、若直线 $E D$ 与平面 $A B E$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值.

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