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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ ，其部分图象如图所示，其中B为最高点， $\tan θ = \frac{1}{3}$ ， $|A B| = \sqrt{10}$ ，则（）．

A、 $A = 2$ B、 $ω = \frac{π}{2}$ C、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = \frac{1}{2}$ ，则 ${|x_{1} - x_{2}|}_{\min} = \frac{4}{3}$ D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f (\frac{k}{3}) = - \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{2}$

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A E} = \vec{E B}, \vec{C D} = 2 \vec{D B}$ ，点 $O$ 为 $A D$ 和 $C E$ 的交点，设 $\vec{B A} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}$ .

(1)、若 $\vec{B O} = x \vec{a} + y \vec{b}$ ，求 $x, y$ 的值；

(2)、若 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 3, \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，求 $△ B O D$ 的面积；

(3)、若 $F$ 在 $A C$ 上， $O F ⊥ A C$ ，且 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}| = 10$ ，求 $\frac{|\vec{C F}|}{|\vec{C A}|}$ 的取值范围.

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3、若函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 3) = - f (x)$ ，且 $f (5 + x) = f (- x) (x \in R)$ ，则称函数 $f (x)$ 为“ $M$ 函数”.已知函数 $g (x) = 2 sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 为“ $M$ 函数”.

(1)、求函数 $g (x)$ 的解析式；

(2)、求不等式 $g (x) \geq \sqrt{3}$ 的解集；

(3)、将函数 $g (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{3}$ （纵坐标不变），再将所得图象向左平移 $a (a > 0)$ 个单位长度，得到的图象关于 $y$ 轴对称，求 $a$ 的最小值.

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4、已知函数 $f (x) = {log}_{a} (a^{x} + 1) + b x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $b \in R$ ）的图象过点 $(0, 1)$ ， $(2, {log}_{2} 10)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (- 4^{x} + m \cdot 2^{x} - 1) < f (8)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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5、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $c^{2} + a b = {(a + b)}^{2}$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $a + b = 6, △ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $c$ .

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6、已知点 $A (1, 2), B (- 2, 3), C (m, 2 - m)$ .

(1)、若 $\vec{A C}$ $∥$ $\vec{B C}$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $\vec{A C} ⊥ \vec{B C}$ ，求实数 $m$ 的值.

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7、函数 $y = 2 sin (2 x + \frac{π}{6}) - 3 cos (2 x - \frac{π}{3})$ 的最大值为.

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8、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $cos A = \frac{2}{3}, b = 2, a = \sqrt{5}$ ，则 $c =$ .

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9、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{c}{b} = 1 + 2 cos A$ ，则（）

A、 $B = 2 A$ B、 $\frac{π}{6} < B < \frac{π}{4}$ C、 $\frac{4}{5 tan B} - \frac{1}{tan A} \geq \frac{\sqrt{15}}{5}$ D、若 $b = 1$ ，则 $\sqrt{2} + 1 < a + c < \sqrt{3} + 2$

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10、已知幂函数 $f (x) = (m - 1) x^{m} (m \in R)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $m = 3$ B、函数 $f (x)$ 为偶函数 C、不等式 $f (x) < 2 x + 8$ 的解集为 $(- 2, 4)$ D、若函数 $g (x) = \{\begin{array}{l} - f (x), x \leq 0, \\ {log}_{a} (x + 1) + 2 - a, x > 0 \end{array} (a > 0, 且 a \neq 1)$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为 $(1, 2)$

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11、关于向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$ B、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ，则 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ C、若 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} > \vec{b}$ D、若 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}, \vec{b}$ $∥$ $\vec{c}$ ，则 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{c}$

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12、已知点 $P$ 是菱形 $A B C D$ 所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且 $(\vec{P A} + \vec{P D}) \cdot (\vec{P B} + \vec{P C})$ 的最小值为 $- 9$ ，则该菱形的边长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、3

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13、如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，现测得 $\cos ∠ C B D = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $C D = 100 \sqrt{2}$ 米，在点C处测得塔顶A的仰角为 $30 °$ ，在点D处测得塔顶A的仰角为 $45 °$ ，则铁塔的高度为（）

A、80米 B、100米 C、112米 D、120米

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14、已知 $a = {log}_{5} 2, 2^{b} = 3$ ，则 ${log}_{12} 10 =$ （）

A、 $\frac{a + a b}{a + 2}$ B、 $\frac{a + b}{a + 1}$ C、 $\frac{a + 1}{2 a + a b}$ D、 $\frac{a + b}{a b + 1}$

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15、已知 $f (x)$ 是周期为4的函数，且 $x \in [- 2, 2)$ 时， $f (x) = x^{3} - 1 + sin \frac{π}{2} x$ ，则 $f (15) =$ （）

A、 $- 3$ B、0 C、1 D、3

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16、已知单位向量 $\vec{O A}, \vec{O B}$ ，向量 $\vec{O A}$ 在向量 $\vec{O B}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{O B}$ ，则向量 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{8}$

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17、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $c = 1, a = \frac{4}{3}, C = \frac{π}{6}$ ，则 $sin A =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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18、命题“ $\exists x \in R, 2^{x} \geq x$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R, 2^{x} < x$ B、 $\forall x \in R, 2^{x} \geq x$ C、 $\exists x \in R, 2^{x} < x$ D、 $\exists x \notin R, 2^{x} < x$

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19、已知直线 $m x + 3 y + m - 1 = 0$ 与直线 $x + (m + 2) y + 2 m - 2 = 0$ 平行，则 $m$ 的值为（）

A、3 B、 $- 3$ C、1或 $- 3$ D、 $- 1$ 或3

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20、下表是离散型随机变量 $X$ 的概率分布，则常数a的值是（）
$X$
3
4
5
6
$P$
$\frac{a}{2}$
$\frac{1}{6} + a$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{6}$

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{2}$

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$X$	3	4	5	6
$P$	$\frac{a}{2}$	$\frac{1}{6} + a$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$