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相关试卷

1、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的虚轴长为4，直线 $2 x - y = 0$ 为双曲线 $C$ 的一条渐近线.
（1）求双曲线 $C$ 的标准方程；
（2）记双曲线 $C$ 的左､右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，斜率为正的直线 $l$ 过点 $T (2, 0)$ ，交双曲线 $C$ 于点 $M$ ， $N$ (点 $M$ 在第一象限)，直线 $M A$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ，直线 $N B$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，记 $△ P A T$ 面积为 $S_{1}$ ， $△ Q B T$ 面积为 $S_{2}$ ，求证： $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 为定值.

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2、如图，已知四边形 $A B C D$ 与 $E F A D$ 均为直角梯形，平面 $A B C D ⊥$ 平面EFAD， $A B ⊥ B C$ ， $A F ⊥ A D$ ， $M$ 为 $B F$ 的中点， $A F = A B = B C = 2 C D = 2 D E = 2$ .

(1)、证明： $C$ ， $E$ ， $F$ ， $M$ 四点共面；

(2)、求平面 $A M C$ 与平面 $A D E$ 夹角的余弦值.

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3、设函数 $f (x) = (x + a) \ln x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 为增函数，求 $a$ 的取值范围.

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4、在平面直角坐标系xOy中，已知点 $M (1, 0)$ ， $N (5, - 3)$ ， $P$ 是直线 $4 x - 3 y - 12 = 0$ 上任意一点，则 $\vec{O P} \cdot \vec{M N} =$ ．

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5、如图，四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是正方形， $A B = 2 A_{1} B_{1} = 2 A_{1} A = 4$ ， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ .动点 $P$ 满足 $B P ⊥ C C_{1}$ ，则下列判断正确的是（）

A、点 $P$ 可能在直线 $A A_{1}$ 上 B、点 $P$ 可能在直线 $B_{1} D_{1}$ 上 C、若点 $P$ 在底面 $A B C D$ 内，则三棱锥 $A - P B_{1} D_{1}$ 的体积为定值 D、若点 $P$ 在棱 $C_{1} C$ 上，则 $\frac{C_{1} P}{C P} = \frac{1}{2}$

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6、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ)$ 在 $x \in (0, \frac{π}{3})$ 时满足 $f (x) > \frac{1}{2}$ 恒成立，且在区间 $(0, \frac{3 π}{2})$ 内，仅存在三个数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = m$ ，则 $\frac{x_{1}}{2} + x_{2} + \frac{x_{3}}{2} =$ （）

A、 $\frac{7 π}{6}$ B、 $\frac{3 π}{2}$ C、 $\frac{11 π}{6}$ D、 $\frac{13 π}{6}$

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7、设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A$ 、 $B$ 两点， $l$ 在 $y$ 轴上的截距为 $1$ ，若 $|A F_{1}| = 2 |F_{1} B|$ ，且 $A F_{2} ⊥ x$ 轴，则此椭圆的长轴长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $5$ D、 $\frac{5}{2}$

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8、在ABC中， $A B = 3$ ， $\vec{B D} = \vec{D C}$ ， $\vec{A E} = 2 \vec{E C}$ ， $A D$ 与BE的交点为 $O$ ，若 $\vec{A O} \cdot \vec{B C} = - 2$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，则“ $m = 4$ ”是“ $a_{2} + a_{m} + a_{9} = 3 a_{5}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、已知复数z与复平面内的点 $(2, 2)$ 对应，则 $\frac{z - 1}{1 - i} =$ （）

A、 $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$

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11、已知角 $α$ 的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若角 $α$ 的终边过点 $P (- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ ，则 $\tan 2 α$ =（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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12、 $sin 20 ° cos 10 ° - cos 160 ° \cdot sin 10 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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13、给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现自1，1起进行构造，第1次得到数列1，2，1，第2次得到数列1，3，2，3，1，…，依次类推得到如下的三角形数表：
1                 1
1             2            1
1        3        2        3       1
1     4     3   5   2   5   3   4     1
......
记 $a_{i j}$ 表示上表中第 $i$ 行，第 $j$ 列的数， $b_{i}$ 表示上表中第 $i$ 行所有数字之和（ $1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq 2^{n - 1} + 1$ ， $i, j \in N^{*}$ ）.

(1)、（i）求 $a_{54}$ 和 $a_{66}$ ；
（ii）求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记集合 $T = {S (k, t) | S (k, t) = b_{k} + b_{k + 1} + \cdot \cdot \cdot + b_{t}, 1 \leq k < t, k, t \in N^{*}}$ ，把集合 $T$ 中的元素从小到大排列，得到新数列为 ${c_{n}}$ ，若 $c_{m} \leq 2025$ ，求 $m$ 的最大值.

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14、已知函数 $f (x) = a e^{x} + x^{2} - 2 x + 1 (a \in R)$ .

(1)、是否存在实数 $a$ ，使得 $x = 2$ 为函数 $f (x)$ 的极小值点？若存在，求 $a$ 的值；若不存在，请说明理由；

(2)、求证：当 $a \in (- \frac{5}{4}, 0)$ 时， $f (x)$ 图象上总存在关于原点对称的两点.

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15、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点 $F (1, 0)$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，若 $\vec{A F} = λ \vec{F B}$ ，当 $λ = 1$ 时， $|A B| = \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆的下顶点为 $D$ ， $△ A D F$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B D F$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $S_{1} - S_{2}$ 的最大值.

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16、如图，矩形 $B C D E$ 所在平面与 $△ A B C$ 所在平面垂直， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $B E = 2$ ．

(1)、证明： $D E ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、若平面 $A D E$ 与平面 $A B C$ 的夹角的余弦值是 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，且直线 $A E$ 与平面 $B C D E$ 所成角的正弦值是 $\frac{1}{4}$ ，求异面直线 $D E$ 与 $A B$ 所成角的余弦值．

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $\cos C = \frac{2 a - c}{2 b}$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $D$ 为 $A C$ 的中点，且 $B D = 5$ ， $b = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18、若一只电子蛐蛐从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在 $3$ 次运动后这只电子蛐蛐仍停留在下底面的概率是.

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19、已知向量 $\vec{a} = (2, m)$ ， $\vec{b} = (- 1, m)$ ，若 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $|\vec{a}| =$ .

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20、三棱锥 $P - A B C$ 中， $P B = P C$ ， $A B = A C = \sqrt{2}$ ， $A B ⊥ A C$ ，且平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C$ ，记三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $V$ ，内切球的半径为 $r$ ，则（）

A、二面角 $B - P A - C$ 大于 $\frac{π}{2}$ B、二面角 $A - P B - C$ 小于 $\frac{π}{4}$ C、 $r < \sqrt{2} - 1$ D、 $\frac{2}{r} - \frac{1}{V} \geq \sqrt{6} + 2$

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