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相关试卷

1、向量 $\vec{a} = (2, 2 \sqrt{3})$ 在向量 $\vec{b} = (\sqrt{3}, 1)$ 上的投影向量是（）

A、 $(- 3, \sqrt{3})$ B、 $(3, \sqrt{3})$ C、 $(3, - \sqrt{3})$ D、 $(- 3, - \sqrt{3})$

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2、如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行于平面MNQ的是（）

A、 B、 C、 D、

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3、某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为80%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为90%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为88%．

(1)、设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件．求证： $4 m = n$ ；

(2)、从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；

(3)、为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件 $A =$ “甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件 $B =$ “该大型企业把零件交给甲工厂生产”，已知 $0 < P (B) < 1$ ，证明： $P (A |B) > P (A |\bar{B})$ ．

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4、盒中装有标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意抽取3张，每张卡片被取出的可能性都相等，求：

(1)、抽出的3张中有2张卡片上的数字是3，有多少种不同的选法？

(2)、若抽出的3张卡片上最大的数字是4，有多少种不同的选法？

(3)、抽出的3张卡片上的数字互不相同，有多少种不同的选法？

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5、某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为．

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6、用0、1、2、3、4、5这六个数字组成一个无重复数字的五位偶数，这样的数有个.

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7、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x - 1}{e^{x}}$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 既存在极大值又存在极小值 B、函数 $f (x)$ 存在 $2$ 个不同的零点 C、函数 $f (x)$ 的最小值是 $- 2 e$ D、若 $x \in [t, + \infty)$ 时， $f {(x)}_{\max} = \frac{5}{e^{2}}$ ，则 $t$ 的最大值为 $2$

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8、设离散型随机变量 $X$ 的分布列如下表：若离散型随机变量 $Y$ 满足 $Y = 2 X + 1$ ，则（）
$X$
0
1
2
3
4
$P$
0.1
0.2
$m$
0.2
0.1

A、 $m = 0.4$ B、 $E (Y) = 3, D (Y) = 3.4$ C、 $E (X) = 2, D (X) = 1.2$ D、 $E (Y) = 5, D (Y) = 4.8$

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9、已知二项式 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（）

A、所有项的二项式系数和为256 B、所有项的系数和为1 C、二项式系数最大的项为第5项 D、展开式中的有理项共4项

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10、已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的可导函数，其导函数为 $f^{'} (x)$ ．若 $f (0) = 5$ ，且 $f (x) - f^{'} (x) > 2$ ，则使不等式 $f (x) \leq 3 e^{x} + 2$ 成立的x的值可能为( )

A、－2 B、－1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、2

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11、广州市第八十九中学食堂有四层，二、三层供应普通饮食，一、四层供应特色饮食．已知同学甲午餐选择普通饮食概率为0.4，如果午餐选择普通饮食，那么晚餐再选择普通饮食的概率为0.3；如果午餐选择特色饮食，那么晚餐选择普通饮食的概率为0.9．同学甲晚餐选择普通饮食的概率为（）

A、0.75 B、0.66 C、0.76 D、0.38

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12、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，那么对于函数 $y = f (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(- \infty, - 1)$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极大值 D、 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值

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13、在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上任取一点 $P$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线段 $P D, D$ 为垂足，当点 $P$ 在圆上运动时，线段 $P D$ 的中点 $Q$ 的轨迹为曲线 $E$ （当点经过圆与 $x$ 轴的交点时，规定点 $Q$ 与点 $P$ 重合）.

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、 $A_{1}, A_{2}$ 为曲线 $E$ 与 $x$ 轴的交点，过点 $M (3, 0)$ 作直线 $l$ 交 $E$ 于 $C, D$ 两点（与 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 不重合），直线 $A_{1} C$ 与 $A_{2} D$ 交于点 $G$ .
（i）证明：点 $G$ 在定直线上；
（ii）是否存在点 $G$ 使得 $C G ⊥ D G$ ，若存在，求出直线 $l$ 的斜率；若不存在，请说明理由.

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14、已知函数 $f (x) = \ln x + a x^{2} + (2 a + 1) x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a < 0$ 时，证明 $f (x) \leq - \frac{3}{4 a} - 2$ ；

(3)、若对任意的不等正数 $x_{1}, x_{2}$ ，总有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 2$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{3 a_{n} + 1} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} a_{n + 1}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(3)、设 $c_{n} = \frac{1}{2^{n} a_{n}}$ ，记数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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16、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B C$ 是边长为2的正三角形， $A A_{1} = 3$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $A B$ ， $B C$ 的中点.

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、求直线 $B C$ 与平面 $A B_{1} E$ 所成角的余弦值.

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17、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x + 2$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 2]$ 上的最大值.

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18、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 5, a_{n + 1} = 4 a_{n} - 3$ ，若对任意的 $n \in N^{*}, k (a_{n} - 1) \geq 2 n - 5$ 恒成立，则实数 $k$ 的最小值.

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19、已知 $f (x) = \frac{x + 1}{x^{2}}$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则 $f^{'} (1) =$ .

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20、已知函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + \frac{9}{2} a x + b (a, b \in R)$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $[1, 2]$ 上单调递减，则 $a \leq 2$ B、当 $a = 2$ 时，若 $f (x)$ 有2个零点，则实数 $b = - 4$ 或 $b = 0$ C、当 $a = 2$ 时，若 $0 < x < 1$ ，则 $f (x) < f (x^{2})$ D、若直线 $l$ 与曲线 $y = f (x)$ 有3个不同的交点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ， $C (x_{3}, y_{3})$ ，且 $|A B| = |A C|$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 6$

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$X$	0	1	2	3	4
$P$	0.1	0.2	$m$	0.2	0.1