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相关试卷

1、一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ 的两个虚根为.

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2、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 $\frac{c}{b} + \frac{b}{c} = 4 \cos A$ ，则（）

A、 $\frac{π}{3} \leq A < \frac{π}{2}$ B、 $2 a^{2} = b^{2} + c^{2}$ C、若 $A = \frac{π}{4}$ ， $B > C$ ，则 $B = \frac{5 π}{8}$ D、若 $\cos (B - C) = \frac{1}{6}$ ，则 $\cos A = \frac{2}{3}$ 或 $\cos A = - \frac{3}{4}$

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3、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (2 x - \frac{π}{12})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、 $f (x)$ 的最小值是 $- \frac{1}{2}$ C、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{4}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{24}, 0)$ 对称

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4、2025年2月7日，第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行.图是第九届亚洲冬运会会徽，适当选择四个点作四边形ABCD，就可以覆盖会徽的主图案.在四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点， $\vec{A H} = 2 \vec{H B}$ ， $\vec{A G} = 2 \vec{G D}$ ，则下列等式一定成立的是（）

A、 $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ B、 $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A D} + \vec{D C}$ C、 $\vec{H G} + \vec{G D} = \vec{A D} - \vec{A H}$ D、 $\vec{E F} = \frac{3}{4} \vec{H G}$

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5、已知 $a = 0.7 \lg 0.6$ ， $b = 0.6 \lg 0.7$ ， $c = \log_{2} 3$ ， $d = \log_{3} 5$ ，则（）

A、 $a > b$ ，且 $c > d$ B、 $a < b$ ，且 $c < d$ C、 $a > b$ ，且 $c < d$ D、 $a < b$ ，且 $c > d$

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6、如图，不共线且不垂直的单位向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的夹角为 $θ$ ，以点 $O$ 为原点， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的正方向分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴建立坐标系，该坐标系称为 $θ -$ 斜坐标系.若 $\vec{O P} = x e_{1} + y e_{2}$ ，则称 $(x, y)$ 为 $\vec{O P}$ 在 $θ -$ 斜坐标系中的坐标，若 $\cos θ = - \frac{2}{3}$ ，向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 在 $θ -$ 斜坐标系中的坐标分别为 $(1, 1)$ ， $(2, - 1)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{11}{3}$

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7、将函数 $y = \tan (2 x + φ) (φ > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，得到函数 $f (x)$ 的图象，若 $f (π) = 1$ ，则 $φ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3 π}{2}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$

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8、利用斜二侧画法画出 $△ A B C$ 的直观图如图阴影部分所示，其中 $O^{'} A^{'} = O^{'} C^{'} = 2$ ， $B^{'}$ 是线段 $O^{'} C^{'}$ 的中点，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、2 B、4 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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9、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 为不共线向量， $a = k \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， $b = - \frac{2}{k} \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为共线向量，则 $k =$ （）

A、2 B、4 C、 $\pm 1$ D、 $\pm 2$

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10、函数 $f (x) = x + \frac{1}{x - 1} + 1 (x > 1)$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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11、已知集合 $A = \{x |y = \sqrt{8 - x}\}$ ， $B = \{y |y = 3 x + 1, x \in N\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 4, 7, 8\}$ B、 $\{1, 4, 7, 10\}$ C、 $\{4, 7\}$ D、 $\{1, 4, 7\}$

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12、已知 $z = 1 - 2 i$ ，则 $z (\bar{z} - 1) =$ （）

A、 $- 4 + 2 i$ B、 $4 + 2 i$ C、 $2 + 4 i$ D、 $- 2 + 4 i$

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13、已知函数 $f (x) = \log_{2} (x^{2} - a x + 1)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围．

(3)、设 $g (x) = 4^{x} - 2^{x + 1}$ ，若对于任意 $x_{1} \in (0, 1)$ ，存在 $x_{2} \in [- 1, 1]$ ，使得不等式 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ 成立，求 $a$ 的取值范围．

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14、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (\frac{π}{4} + x) \sin (\frac{π}{4} - x) + \sin x \cos x$ ．

(1)、求 $f (0)$ 和 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、用五点法作出 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}]$ 内的图象；

(3)、在 $△ A B C$ 中，若 $f (\frac{A}{2} - \frac{π}{12}) = 1$ ，求 $\sin B + \sin C$ 的最大值．

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15、某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为 $T = 24$ 分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型即 $h (t) = A \sin (ω t + φ) + B$ （其中 $A > 0, ω > 0, |φ| \leq \frac{π}{2}$ ），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．

(1)、求旋转 $2$ 分钟后 $1$ 号座舱（ $A$ 点）离地面的距离；

(2)、求1号座舱（ $A$ 点）与地面的距离 $h$ 与时间 $t$ 的函数关系 $h (t)$ 的解析式（写出定义域）；

(3)、在前24分钟内，求1号座舱（ $A$ 点）与地面的距离为17米时 $t$ 的值．

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16、已知函数 $f (x) = \log_{a} (x + 1), g (x) = \log_{a} (1 - x), a > 0$ 且 $a \neq 1$

(1)、求函数 $f (x) + g (x)$ 的定义域且判断奇偶性；

(2)、求不等式 $f (x) \geq g (x)$ 的解集．

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17、若函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω \in R, |φ| < \frac{π}{2})$ 满足 $f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 且在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递减．则 $ω$ 的取值范围是．

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18、求值： $\lg 125 + 3 \lg 2 + \tan \frac{3 π}{4} =$ ．

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19、下列各组函数中，可以只通过图象平移变换从 $f (x)$ 变为 $g (x)$ 的是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{|x|}$ ， $g (x) = \frac{1}{|x| - 1}$ B、 $f (x) = sin x + cos x$ ， $g (x) = sin x - cos x$ C、 $f (x) = 2^{x}$ ， $g (x) = 3 \cdot 2^{x}$ D、 $f (x) = 1 + {log}_{4} x$ ， $g (x) = {log}_{2} 4 \sqrt{x}$

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20、函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < π)$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $ω = π$ B、 $φ = \frac{π}{3}$ C、 $x = \frac{3}{4}$ 是函数的一条对称轴 D、 $(k + \frac{1}{4}, 0) (k \in Z)$ 是函数的对称中心

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