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相关试卷

1、已知 $\sin (α + β) = \frac{17}{25}$ ， $\sin α \cos β = \frac{1}{5}$ ，则 $\sin (α - β) =$ （）

A、 $\frac{24}{25}$ B、 $- \frac{24}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $- \frac{7}{25}$

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2、将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）

A、 $8 \sqrt{3} π$ B、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $16 \sqrt{3} π$ D、 $\frac{16 \sqrt{3}}{3} π$

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3、已知向量 $\vec{a} = (4, 0)$ ， $\vec{b} = (x, 3)$ ，若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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4、若 $\frac{z - 2}{z} = i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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5、已知集合 $A = {x | | x - 1 | < 2}$ ， $B = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{- 1, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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6、已知 $x$ 为实数，复数 $z = x - 2 + (x + 2) i$ .
（1）当 $x$ 为何值时，复数 $z$ 的模最小？
（2）当复数 $z$ 的模最小时，复数 $z$ 在复平面内对应的点 $Z$ 位于函数 $y = - m x + n$ 的图象上，其中 $m n > 0$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值及取得最小值时 $m$ 、 $n$ 的值.

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7、已知 $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = 4$ ，且 $| \vec{a} + \vec{b} | = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、求 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ 的值；

(3)、若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + k \vec{b})$ ，求实数k的值．

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b = \sqrt{2}, c = 2, cos C = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ．

(1)、求 $sin B$ 和 $a$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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9、在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知 $a = 2, 2 \sin B + 2 \sin C = 3 \sin A$ ．则 $\sin A$ 的最大值为

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10、已知 $sin x - 2 cos x = \sqrt{5} sin (x + φ)$ ，则 $sin φ - 2 cos φ =$ .

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11、在复平面内，复数 $z_{1} = 1 - a i (a \in R)$ 对应点 $Z_{1}$ 满足 $| \vec{O Z_{1}} | = \sqrt{2}$ .点 $Z$ 与 $Z_{1}$ 关于 $x$ 轴对称.则复数 $z$ 为（）

A、 $1 - \sqrt{2} i$ B、 $1 + \sqrt{2} i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别是 $a 、 b 、 c$ ，若 $(a^{2} - b^{2} + c^{2}) \tan B = a c$ ，则角B的值为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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13、已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = 2 \cos (2 x + \frac{π}{6})$ C、 $f (x) = 2 \cos (4 x - \frac{π}{3})$ D、 $f (x) = 2 \cos (4 x - \frac{π}{6})$

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14、已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当小轮转动一周时大轮转动的弧度数是（）

A、 $\frac{4 π}{5}$ B、 $\frac{5 π}{4}$ C、 $\frac{π}{5}$ D、 $5 π$

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15、已知 $a = - {log}_{5} \frac{1}{3}, b = 5^{0.3}, c = {log}_{6} 2$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < b < c$

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16、已知复数 $z = a - b i (b < 0)$ ，满足 $|z| = 1$ ，复数z的实部为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则复数z的虚部是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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17、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (x, - 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $x$ 等于（）

A、-7 B、9 C、4 D、-4

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18、已知集合 $A = \{- 1, a, a + 2\}, B = \{y| y = x^{2} - 2 x, x \in A\}$ ，若 $A \cup B = A$ ，则 $a =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、1或3

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19、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且 $f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y)$ ， $f (1) = 1$ ．

(1)、若 $f (x) = A cos ω x (0 < ω < π)$ ，求A与 $ω$ ；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 既是偶函数又是周期函数；

(3)、若 $T$ 为 $f (x)$ 的一个周期，且 $f (x)$ 在 $[0, \frac{T}{2}]$ 上单调递减，记 $f (x)$ 的正的零点从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， …，证明： $f (x)$ 在区间 $[0, 2024 T]$ 上有4048个需点，且 $x_{2} - x_{1} = x_{3} - x_{2} = \dots = x_{4048} - x_{4017}$ ．

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20、如图，某公园有一块扇形人工湖OAB，其中 $∠ A O B = \frac{π}{2}$ ， $O A = O B = 1$ 千米，为了增加人工湖的观赏性，政府计划在人工湖上建造两个观景区，其中荷花池观景区的形状为矩形 $P C O D$ ，喷泉观景区的形状为 $△ P B C$ ，且C在OB上，D在OA上，P在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，记 $∠ P O A = θ$ ．

(1)、试用θ分别表示矩形 $P C O D$ 和 $△ P B C$ 的面积；

(2)、若在PD的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区的费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为6万元．求当θ为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用．

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