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相关试卷

1、若 $b > 1$ ， $a \in R$ ，且 $e^{a} + 2 \ln b = \frac{1}{b} - a$ ，则（）

A、 $a^{2} < b$ B、 $a^{2} > b$ C、 $e^{a} > b^{- 1}$ D、 $e^{a} > b^{- 2}$

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2、若 $\tan (α + β) = 3 \tan α$ ， $\sin (2 α + β) = \frac{4}{5}$ ，则 $\sin β =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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3、在圆台 $O_{1} O_{2}$ 中，圆 $O_{2}$ 的半径是圆 $O_{1}$ 半径的2倍，且点 $O_{2}$ 为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{3}}{16}$ B、 $\frac{7 \sqrt{3}}{96}$ C、 $\frac{21 \sqrt{3}}{32}$ D、 $\frac{7 \sqrt{3}}{32}$

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4、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{3} = a_{5}$ ，若 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{m}$ 成等比数列，则 $m =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5、2024年6月，国家卫健委等16部门联合发布《“体重管理年”活动实施方案》，旨在通过三年行动提升全民体重管理意识，推广健康生活方式.体重指数（体重公斤数除以身高米数平方）是常用的衡量人体胖瘦程度的一个标准，中国成人参考标准如下表.某中学在高三年级学生中随机抽取10人并计算出他们的体重指数分别为：16，18，18，19，19.7，20.3，21，22，26，30，则下列结论不正确的是（）
偏瘦
<18.5
正常
18.5~23.9
偏胖
24~27.9
肥胖
≥28

A、这组数据的中位数为20 B、该组数据的极差为14 C、这十个人的平均体重正常 D、从该校学生中随机抽取一人，体重偏胖概率为20%

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6、已知 $m, n \in R$ ，则“ $(m - 1) (n - 1) = 0$ ”是“ ${(m - 1)}^{2} + |n - 1| = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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7、已知集合 $A = \{x |x = 2 k + 1, k \in N\}$ ， $B = \{x |- 1 \leq x \leq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 3\}$ B、 $\{1, 3\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{- 1, 1, 3\}$

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8、已知 ${(3 x^{2} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的二项展开式有7项．

(1)、求 $n$ ，并求出所有二项式系数之和；

(2)、求展开式中含 $x^{7}$ 项的系数；

(3)、求展开式中的有理项．

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9、某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有种．

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10、若 ${(1 - 2 x)}^{2025} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2025} x^{2025}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} = 4044$ C、 $|a_{0}| + |a_{1}| + \dots + |a_{2025}| = 3^{2025}$ D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \dots + \frac{a_{2025}}{2^{2025}} = - 1$

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11、函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，它的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 有三个极值点 B、 $f (- 2) > f (- 1)$ C、函数 $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上单调递增 D、 $x = - 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点

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12、已知函数 $f (x) = x^{2} - 8 x + 6 \ln x + 1$ ，则 $f (x)$ 的极大值为（）

A、 $10$ B、 $- 6$ C、 $- 7$ D、 $0$

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13、若函数 $f (x) = 6 x^{3} - 2 f^{'} (1) x$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、3 B、6 C、 $- 6$ D、 $- 3$

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14、下列叙述中，是离散型随机变量的是（）

A、某电子元件的寿命 B、高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 C、某人早晨在车站等出租车的时间 D、测量某零件的长度产生的测量误差

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15、我们在学习解析儿何过程中知道椭圆、双曲线的定义分别是平面内到两定点距离之和、距离之差的绝对值等于某个定值，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.若定点 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = a^{2}$ ，其中 $a, c$ 均为正数，记该卡西尼卵形线为曲线 $C$ ，它的轨迹方程为 ${(x^{2} + y^{2})}^{2} + λ (x^{2} - y^{2}) = μ$ .

(1)、求参数 $λ, μ$ 的值（用含 $a, c$ 的式子表示）；

(2)、若 $P (x, y)$ 为曲线上一点，求证： $|y| \leq \frac{a^{2}}{2 c}$ ， $|x| \leq \sqrt{a^{2} + c^{2}}$ ；

(3)、若 $a = c = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，求证：曲线 $C$ 恰经过 $3$ 个整点（横、纵坐标均为整数的点）.

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16、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都为 $2, D$ 为 $C C_{1}$ 中点.

(1)、求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、求平面 $A_{1} A C C_{1}$ 与面 $A_{1} B D$ 所成角的余弦值.

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17、已知函数 $f (x) = a x^{2} + 1$ ，（ $a > 0$ ）， $g (x) = x^{3} + b x$
（1）若曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值
（2）当 $a = 3, b = - 9$ 时，若函数 $f (x) + g (x)$ 在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围

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18、设 $[x]$ 表示不超x的最大整数（如 $[2] = 2, [\frac{5}{4}] = 1$ ）．对于给定的 $n \in N^{*}$ ，定义 $C_{n}^{x} = \frac{n (n - 1) \dots (n - [x] + 1)}{x (x - 1) \dots (x - [x] + 1)}, x \in [1, + \infty)$ ，则 $C_{8}^{\frac{3}{2}} =$ ；当 $x \in [2, 3)$ 时，函数 $C_{8}^{x}$ 的值域是．

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19、函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，若 $a, b, c$ 成等比数列且 $f (0) = - 4$ ，则 $f (x)$ 值域为.

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20、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} =$ ；

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偏瘦	<18.5
正常	18.5~23.9
偏胖	24~27.9
肥胖	≥28