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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{a} \ln x - x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性：

(2)、当 $x > 1$ 时， $f (x) \leq - 1$ 恒成立，求a的取值范围；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $\ln (n + 1) < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{n}{2 (n + 1)}$ .

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{2 n + 3}{n} S_{n}$ .

(1)、证明： $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 为等比数列

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式

(3)、求数列 $\{S_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$

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3、甲、乙两队进行一场排球比赛，设各局比赛相互间没有影响且无平局，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一队比另一队多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 $p = \frac{2}{3}$ ．

(1)、第二局比赛结束时比赛停止的概率；

(2)、设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望．

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4、某新能源汽车企业开展市场前景调研，对即将换车的男､女性燃油车主购买新能源车意愿进行问卷调查，随机抽取了100份有效问卷，统计数据如下表：
性别
购买意愿
合计
有愿意
无愿意
男性
22
18
40
女性
48
12
60
合计
70
30
100

(1)、试依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为购买意愿与性别有关联？

(2)、企业随机致电8位无愿意购买新能源车的车主（其中3名男性，5名女性），邀请其参加新能源车免费试驾，已知有一半的车主同意受邀参加试驾活动，设试驾活动中女性人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望.
$附 : χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d .$
下表给出了 $χ^{2}$ 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$χ_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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5、一市级重点中学选中了6名男教师和4名女教师共10名教师，其中1名主任（男）和1名副主任（女），现要组成6人支教小组，依下列条件各有多少种选派方法？

(1)、6人支教小组中，有3名男教师和3名女教师；

(2)、6人支教小组中，既有男教师，又有女教师；

(3)、6人支教小组中，至少有1名主任参加；

(4)、6人支教小组中既有主任，又有女教师．

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} + {(- 1)}^{n} a_{n} = 2 n - 1$ ， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，则 $S_{60} =$ ．

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7、若函数 $f (x) = 2 a e^{x} - x^{2} + 3$ （ $a$ 为常数， $e$ 是自然对数的底）恰有两个极值点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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8、若 $k \in Z$ ，则函数 $f (x) = x^{k} e^{x}$ 的函数图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9、若 ${(1 + 2 x)}^{2025} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2025} x^{2025}$ ，则下列正确的是（）

A、 $a_{0} = 2025$ B、 $a_{0} + a_{1} + \dots + a_{2025} = 3^{2025}$ C、 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + \dots - a_{2025} = - 1$ D、 $a_{1} - 2 a_{2} + 3 a_{3} - \dots + 2025 a_{2025} = 4050$

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10、从1，2，3，…，15中，甲、乙两人各取一数（不重复），已知甲取到的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是

A、 $\frac{9}{14}$ B、 $\frac{1}{14}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{15}$

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11、包括甲、乙、丙在内的6人排成一排照相，要求甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的排列种数为（）

A、180 B、246 C、168 D、192

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12、已知曲线 $y = \ln x$ 的切线过原点，则此切线的斜率为（）

A、 $e$ B、 $- e$ C、 $\frac{1}{e}$ D、 $- \frac{1}{e}$

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13、“数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列”是“数列 $\{a_{n} + a_{n + 1}\}$ 是等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、设随机变量 $X$ 服从正态分布 $X \sim N (4, σ^{2})$ ，记 $P (X \leq 2) = 0.4$ ，则 $P (2 < X < 6) =$ （）

A、0.1 B、0.2 C、0.4 D、0.6

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15、已知 $|\vec{a}| = 2$ ，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量 $\vec{c}$ 与向量 $\vec{b}$ 方向相反，且 $|\vec{c}| = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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16、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F (- 1, 0)$ ， $P$ 是直线 $l : x = - 8$ 右侧区域内的动点， $P$ 到直线 $l$ 与 $y$ 轴的距离之和等于它到点 $F$ 距离的4倍，记点 $P$ 的轨迹为 $E$ ．

(1)、求 $E$ 的方程，并在图中画出该曲线；

(2)、直线 $l^{'}$ 过点 $F$ ，与 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，
（i）若 $|A B| = \frac{9}{2}$ ，求直线 $l^{'}$ 的方程：
（ii）若 $|A B| = 4$ ， $T$ 是点 $F$ 关于 $y$ 轴的对称点，延长线段 $A T$ 交 $E$ 于点 $C$ ，延长线段 $B T$ 交 $E$ 于点 $D$ ，直线 $C D$ 交 $x$ 轴于点 $M (m, 0)$ ，求 $m$ 的最小值．

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17、已知函数 $f (x) = ln (x + 1) + \frac{a x}{x + 1} (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 0)$ 上恰有一个零点，求 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a > 0$ 时，解方程 $f^{'} (x) - f (x) = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} - ln \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ．

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18、PageRank算法是Google搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法．其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性．假设一个小型的互联网由 $A ， B ， C ， D$ 四个网页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网页 $A$ 开始浏览（记为第1次停留）．

(1)、求该用户第3次停留在网页 $D$ 上的概率；

(2)、某广告公司准备在网页 $B ， C$ 中选择一个投放广告，以用户前4次在该网页上停留的平均次数作为决策依据．试问该公司应该选择哪个网页？请说明理由．

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19、函数 $f (x)$ 满足：① $f (1) = \frac{2}{5}$ ② $\forall x ， y \in R$ ， $2^{x} f (y) - 2^{y} f (x) \geq (4^{x} - 4^{y}) f (x) f (y)$ ．则 $f (x)$ 的最大值等于．

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20、已知 $A$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 在第一象限上的点， $F$ 是抛物线的焦点， $∠ A F O = 60^{\circ}$ （ $O$ 为坐标原点）则抛物线在 $A$ 处切线的斜率是．

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性别	购买意愿		合计
性别	有愿意	无愿意	合计
男性	22	18	40
女性	48	12	60
合计	70	30	100

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$χ_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828