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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\cos θ, \sin θ) (0 \leq θ \leq π)$ ，则下列说法正确的是（）.

A、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\tan θ = \sqrt{3}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $θ$ 的值为 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的取值范围为 $[- \sqrt{3}, 2]$ D、存在 $θ$ ，使得 $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$

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2、设 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 为复数，则下列说法正确的是（）

A、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$ B、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|$ C、 $\bar{z_{1} \pm z_{2}} = \bar{z_{1}} \pm \bar{z_{2}}$ D、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1} = \pm z_{2}$

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3、在直角 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90^{\circ}, |\vec{A B} |= \frac{1}{t},| \vec{A C}| = t$ ，若点 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，且 $\vec{A P} = \frac{\vec{A B}}{2 |\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{4 |\vec{A C}|}$ ，则当 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 取到最大值时， $t =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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4、已知O为 $△ A B C$ 内一点，若分别满足① $|\overset{⃑}{O A}| = |\overset{⃑}{O B}| = |\overset{⃑}{O C}|$ ；② $\overset{⃑}{O A} \cdot \overset{⃑}{O B} = \overset{⃑}{O B} \cdot \overset{⃑}{O C} = \overset{⃑}{O C} \cdot \overset{⃑}{O A}$ ；③ $\overset{⃑}{O A} + \overset{⃑}{O B} + \overset{⃑}{O C} = \overset{⃑}{0}$ ；④ $a \overset{⃑}{O A} + b \overset{⃑}{O B} + c \overset{⃑}{O C} = \overset{⃑}{0}$ (其中 $a, b, c$ 为 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边).则O依次是 $△ A B C$ 的

A、内心、重心、垂心、外心 B、外心、垂心、重心、内心 C、外心、内心、重心、垂心 D、内心、垂心、外心、重心

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5、已知 $z = \frac{4 - 3 i}{2 - i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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6、如图，正四棱锥 $P - A B C D$ 的底面边长和高均为 $2, E, F$ 分别是 $P D$ 和 $P B$ 的中点．

(1)、证明： $E F ⊥ P C$ ；

(2)、若点 $M$ 满足 $\vec{P M} = λ \vec{P C}$ ，且点 $M$ 在平面 $A E F$ 内，求 $λ$ 的值；

(3)、求直线 $P B$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值．

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7、我们知道，当一束光线照到镜面时，光线会依一定的规律反射，即反射角等于入射角（如图所示）．依据此物理定律，解决以下问题．
已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，其焦点为 $F$ ，直线 $l : y = k x + 2$ 与抛物线 $C$ 相切于点 $P$ ．

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、从点 $F$ 发出的光线经过抛物线上的点 $P$ 反射，证明：反射光线平行于抛物线的对称轴．

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8、设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + \dots + (2 n - 1) a_{n} = n$ ．

(1)、证明：数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 为等差数列；

(2)、求数列 $\{\frac{a_{n}}{2 n + 1}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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9、传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数，则正方形数所构成的数列的第5项是，五边形数所构成的数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为．

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10、在空间直角坐标系中，已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1, 0)$ 和向量 $\vec{b} = (x, y, z)$ ，如果 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{3}$ ，则向量 $\vec{b}$ 的坐标可以是：．（注：写出一个具体的坐标即可）

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11、过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 作直线 $l$ ，交抛物线于点 $A$ ，若点 $A$ 的横坐标为3，则 $|A F|$ 等于．

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = k \cdot 2^{n} - 1, k \in R$ ，则下列选项正确的是（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 的首项不可能为0 B、当 $k \neq 0$ 时， $\{a_{n}\}$ 偶数项的符号相同 C、当 $k = 1$ 时， $\{a_{n}\}$ 一定是等比数列 D、当 $k \neq 1$ 时， $\{a_{n}\}$ 有可能是等比数列

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13、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y - 3 = 0$ ，直线 $l : a x - y - a - 1 = 0$ （其中 $a$ 为参数），则下列选项正确的是（）

A、圆心坐标为 $(2, 3)$ B、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相交，弦长最大值为12 C、直线 $l$ 过定点 $(0, - a - 1)$ D、当 $a = - \frac{8}{15}$ 时，直线 $l$ 与圆 $C$ 相切

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14、如图所示的试验装置中，两个正方形框架 $A B C D, A B E F$ 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．长度为1的金属杆端点 $N$ 在对角线 $B F$ 上移动，另一个端点 $M$ 在正方形 $A B C D$ 内（含边界）移动，且始终保持 $M N ⊥ A B$ ，则端点 $M$ 的轨迹长度为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{π}{4}$

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15、若直线 $a x + b y = 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 无公共点，则点 $P (a, b)$ 与圆的位置关系是（）

A、点 $P$ 在圆上 B、点 $P$ 在圆外 C、点 $P$ 在圆内 D、以上都有可能

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16、已知空间向量 $\vec{a} = (3, 0, 4), \vec{b} = (1, \sqrt{3}, 0)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是（）

A、 $\frac{3}{2} (1, \sqrt{3}, 0)$ B、 $\frac{3}{4} (1, \sqrt{3}, 0)$ C、 $\frac{3}{25} (3, 0, 4)$ D、 $\frac{3}{5} (3, 0, 4)$

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17、椭圆可看成是圆被压扁或拉伸形成的．下列椭圆中，形状更接近圆的是（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$

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18、已知点 $A (- 3, 4), B (2, 2)$ ，直线 $y = k x - 2$ 与直线 $A B$ 平行，则实数 $k$ 等于（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $- \frac{5}{2}$

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19、已知空间向量 $\vec{a} = (2, - 3, 0), \vec{b} = (m, 2, - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $m$ 等于（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、1 D、3

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20、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{2} = 3, a_{6} = 11$ ，则 $a_{4}$ 等于（）

A、 $7$ B、 $6$ C、 $\frac{47}{5}$ D、 $\frac{31}{5}$

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