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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a \ln x - \frac{1}{x}$ ，直线l是曲线 $y = f (x)$ 在点 $(t, f (t))$ 处的切线．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若存在直线l经过点 $(0, 0)$ ，求实数a的取值范围．

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2、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面PBC，平面 $P A B ⊥$ 平面ABC．

(1)、证明： $B C ⊥ A B$ ；

(2)、若 $A P = B C = \sqrt{6}$ ， PC与平面PAB所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求平面PAC与平面ABC夹角的正弦值．

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3、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\sqrt{3} b \sin \frac{B + C}{2} = a \sin B$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、已知 $a = 7$ ， D是BC边的中点，且 $A D ⊥ A C$ ，求AD的长．

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4、某班为了响应“学雷锋”活动，将指定的6名学生随机分配到3个不同的办公室打扫卫生，要求每个办公室至少分配1人，则恰好甲、乙两人（仅有两人）打扫同一个办公室的情况有种（用数字作答）．

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{1} = - 1, S_{7} = 5 a_{4} + 10$ ，则 $S_{4} =$ ．

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6、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直线与C交于B，D两点，过B，D作l的垂线，垂足分别为E，G，则（）

A、若直线BD的斜率为1，则 $|B D| = 8$ B、以BD为直径的圆与y轴相切 C、 $E F ⊥ G F$ D、B，O，G三点共线

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7、为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：
x
1
2
3
4
5
y
0.5
0.8
1
1.2
1.5
假设经验回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 0.28$ ，则（）
（参考公式：相关系数为 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ）

A、 $\hat{b} = 0.24$ B、当 $x = 4$ 时，对应的残差为0.04 C、样本数据y的第40百分位数为0.8 D、去掉点 $(3, 1)$ 后，x与y的样本相关系数r不变

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8、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的直线与E交于M，N两点．若 $\cos ∠ F_{1} M F_{2} = \frac{7}{9}$ ， $|M N| = |M F_{1}|$ ，则椭圆E的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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9、若函数 $f (x) = \{\begin{matrix} (x - 1) e^{x}, x < 1 \\ a x + 1, x \geq 1 \end{matrix}$ 有最大值，则实数a的取值范围为（）

A、 $[- 1, 0]$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $[- 1, 0)$ D、 $(- 1, 0]$

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10、满足等式 $\{0, 1\} \cup X = \{x \in R |x^{3} = x\}$ 的集合X共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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11、已知 $(1 + i) z = 2$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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12、通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量．类似的，我们可以把有序复数对 $(z_{1}, z_{2}) (z_{1}, z_{2} \in C)$ 看作一个向量，记 $\vec{a} = (z_{1}, z_{2})$ ，称 $\vec{a}$ 为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于 $\vec{a} = (z_{1}, z_{2}), \vec{b} = (z_{3}, z_{4}), z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ ， $λ \in C$ ，我们有如下运算法则：① $\vec{a} + \vec{b} = (z_{1} + z_{3}, z_{2} + z_{4}),$ $\vec{a} - \vec{b} = (z_{1} - z_{3}, z_{2} - z_{4})$ ；② $λ \vec{a} = (λ z_{1}, λ z_{2});$ ③ $\vec{a} \cdot \vec{b} = z_{1} \bar{z_{3}} + z_{2} \bar{z_{4}}$ ；④ $| \vec{a} | = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$ ．

(1)、设 $\vec{a} = (1, 2 - i), \vec{b} = (1 + i, 1 - 2 i)$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 和 $| \vec{a} + \vec{b} |$ ；

(2)、类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论： $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，判断上述结论是否正确，并说明理由；

(3)、设 $\vec{a} = (3 + 3 i, 3)$ ，集合 $Ω = \{\vec{p} ∣ \vec{p} = (z_{1}, z_{2}), z_{2} = z_{1} + 3, z_{1}, z_{2} \in C\}, \vec{b} \in Ω$ ，求 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值，并证明当 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 取最小值时，对于任意的 $\vec{c} \in Ω, (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ ．

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13、已知函数 $f (x) = cos (4 x + \frac{π}{6}) + cos (4 x - \frac{π}{6}) + sin 4 x + a$ 的最大值为1．

(1)、求常数 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、设 $x_{1}, x_{2}$ 为函数 $f (x)$ 的两个相异零点，求 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值．

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14、如图，已知AB是圆柱下底面圆的直径，点 $C$ 是下底面圆周上异于 $A$ ， $B$ 的动点，CD，BE是圆柱的两条母线．

(1)、求证：平面 $A C D ⊥$ 平面BCDE；

(2)、若 $A B = 5, B C = 2$ ，圆柱的母线长为 $2 \sqrt{3}$ ，求平面ADE与平面ABC夹角的余弦值．

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15、潮汕英歌舞以其动作刚劲有力，节奏感强的特色，备受人们喜爱．某校组织英歌队进行训练并作了汇报表演，为了解训练成果，做了一次问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份的分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于50分的整数且在组内均匀分布）分成五段： $[50, 60), [60, 70), \dots, [90, 100]$ ，得到如下所示的频数分布表．
样本分数段
$[50, 60)$
$[60, 70)$
$[70, 80)$
$[80, 90)$
[90，100]
频数
10
$a$
30
30
10
频率
0.1
$b$
0.3
0.3
0.1

(1)、求频数分布表中 $a$ 和 $b$ 的值，并估计样本成绩的平均数；

(2)、经计算，样本中分数在区间［50，60）内的平均数为56，方差为7；在区间[60，70）内的平均数为65，方差为4，求两组成绩的总平均数 $\bar{z}$ 和总方差 $s^{2}$ ．

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16、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，有余弦定理：
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ ，
$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos B$ ，
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C$ ．

(1)、在上面三个等式中，任选一个等式进行证明；

(2)、若 $A = \frac{π}{6}$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $a \sin A = 5 \sqrt{3} \sin B - 2 \sin C$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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17、已知 $A, B, C, D$ 四点都在体积为 $\frac{500}{3} π$ 的球 $O$ 的表面上，若AD是球 $O$ 的直径，且 $B C = 3$ ， $∠ B A C = 150 °$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 体积的最大值为．

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x - 3, x ⩽ 0, \\ - 2 + \ln x, x > 0, \end{array}$ 若 $g (x) = f (x) - k$ 只有一个零点，则 $k$ 的取值范围是．

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19、已知随机事件 $A, B, C, A$ 和 $B$ 互斥， $B$ 和 $C$ 对立，且 $P (A + B) = 0.7, P (A) = 0.3$ ，则 $P (C) =$ ．

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20、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f (x + 1)$ 是偶函数，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = \sqrt{x} +$ $x$ ，则下列说法中正确的有（）

A、4是 $f (x)$ 的一个周期 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、 $\sum_{i = 1}^{2025} f (i) = 2$ D、方程 $f (x) = \ln | x |$ 恰有8不同的实数根

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样本分数段	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	[90，100]
频数	10	$a$	30	30	10
频率	0.1	$b$	0.3	0.3	0.1

x	1	2	3	4	5
y	0.5	0.8	1	1.2	1.5