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相关试卷

1、已知某圆锥的侧面积为 $4 π$ ，其侧面展开图是一个圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的底面半径为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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2、已知在“斜二测”画法下， $△ A B C$ 的直观图是一个边长为4的正三角形，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $8 \sqrt{6}$ C、 $16 \sqrt{6}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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3、已知直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，平面 $α$ ， $l_{1} / / l_{2}$ ， $l_{1} / / α$ ，那么 $l_{2}$ 与平面 $α$ 的关系是（）

A、 $l_{2} / / α$ B、 $l_{2} ⊥ α$ C、 $l_{2} / / α$ 或 $l_{2} \subset α$ D、 $l_{2}$ 与 $α$ 相交

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4、已知复数 $z = \frac{2 i + 1}{1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5、定义函数 $T_{n} (x)$ 满足 $T_{n} (cos x) = cos n x$ ，且 $T_{n} (x)$ 的定义域均为 $[- 1, 1]$ ， $n \in N^{*}$ ．已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} T_{1} (x) \cdot [T_{2} (x) + 1] ln x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及其定义域；

(2)、证明： $\frac{f (x)}{x^{2}} < e^{x} + cos x - 2$ ；

(3)、若 $x_{1}$ ， $x_{2} (0 < x_{1} < x_{2})$ 是 $y = f (x) - a$ 的两个零点，证明： $a (\frac{2}{x_{1}^{3}} + \frac{1}{x_{2}^{3}}) < - 1$ ．

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6、高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为 $1, 2, \dots, 7$ ，用 $X$ 表示小球最后落入格子的号码．

(1)、求 $X$ 的分布列；

(2)、小州同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．若2元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入 $X$ 号格子得到的奖金为 $Y$ 元，其中 $Y = \{\begin{array}{l} 10, X = 1 或 7 \\ 5, X = 2 或 6 \\ 1, X = 3 或 5 \\ 0, X = 4 \end{array}$ ，你觉得小州同学能盈利吗？

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7、已知 $f (x) = {(2 x + 3)}^{n}$ 展开式的二项式系数和为512，且 ${(2 x + 3)}^{n} = a_{0} + a_{1} (x + 2) + a_{2} {(x + 2)}^{2} + \dots + a_{n} {(x + 2)}^{n}$ ．

(1)、求 $n$ 和 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ 的值；

(2)、若 $0 \leq a < 6$ ， $a \in N$ 且 $f (20) + a$ 被6整除，求 $a$ ．

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8、已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - x$ ，当 $x = a$ 时， $f (x)$ 取得极小值．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 在 $[- 2, 2]$ 上的最大值和最小值．

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9、某种产品的加工需要经过 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 共5道工序．

(1)、如果 $A$ 工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？

(2)、如果工序 $B$ 和 $C$ 工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？

(3)、如果 $A$ 和 $B$ 工序相邻， $C$ 和 $D$ 不能相邻，那么有多少种加工顺序？

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10、曲线 $y = \frac{a}{x} (a > 0)$ 与 $y = ln x$ 和 $y = e^{x}$ 分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，设曲线 $y = ln x$ 在 $A$ 处的切线斜率为 $k_{1}$ ， $y = e^{x}$ 在 $B$ 处的切线斜率为 $k_{2}$ ，若 $k_{1} + k_{2} = \frac{10}{3}$ ，则 $a =$ ．

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11、在 $(2 x^{2} + x - 1) {(x + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中， $x^{2}$ 项的系数为．

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12、如果随机变量 $X \sim N (1, σ^{2})$ ，且 $P (- 1 \leq X \leq 1) = 0.2$ ，则 $P (X \geq 3) =$ ．

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13、已知函数 $f (x) = \frac{x}{ln x}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x = e$ 是函数 $f (x)$ 定义域内的极小值点 B、 $f (x)$ 的单调减区间是 $(0, e)$ C、 $f (x)$ 在定义域内既无最大值又无最小值 D、若 $f (x) = m$ 有两个不同的交点，则 $m > e$

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14、甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件 $A_{1}$ 为“取出的是红球”，事件 $A_{2}$ 为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件 $B$ 为“取出的两球都是红球”，事件 $C$ 为“取出的两球为一红一白”，则（）

A、 $P (A_{1} B) = \frac{5}{18}$ B、 $P (C |A_{2}) = \frac{4}{9}$ C、 $P (B) = \frac{11}{27}$ D、 $P (C) = \frac{14}{27}$

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15、我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（）

A、由“第 $n$ 行所有数之和为 $2^{n}$ ”猜想： $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$ B、由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想： $C_{n + 1}^{r} = C_{n}^{r - 1} + C_{n}^{r}$ C、 $C_{2}^{2} {+C}_{3}^{2} {+C}_{4}^{2} + \dots {+C}_{10}^{2} = 165$ D、第29行中从左到右第14与第15个数相等

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16、已知随机事件 $A, B$ 满足： $P (A) = \frac{2}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ，则下列选项错误的是（）

A、若 $P (A B) = \frac{1}{6}$ ，则 $A$ 与 $B$ 相互独立 B、若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (\bar{A} B) = \frac{1}{12}$ C、若 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{2}$ D、若 $P (\bar{A}) P (B |\bar{A}) = \frac{1}{12}$ ，则 $P (B ∣ A) = \frac{1}{4}$

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17、若函数 $f (x) = k x + e^{2 x}$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上单调递增，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 e^{2}, + \infty)$ B、 $[- 2 e^{- 2}, + \infty)$ C、 $[- e^{2}, + \infty)$ D、 $[- e^{- 2}, + \infty)$

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18、某物流公司需要安排四个区域的快递运送，公司现有甲、乙、丙三位快递员可选派，要求每个区域只能有一个快递员负责，每位快递员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有（）

A、60种 B、54种 C、48种 D、36种

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19、已知随机变量 $X$ 的分布列如图，则 $E (X) =$ （）
$x$
1
2
3
$p$
$\frac{1}{3}$
$a$
$\frac{1}{2}$

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{11}{6}$ D、 $\frac{13}{6}$

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20、已知函数 $f (x)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $3 x - y + 2 = 0$ ，则 $f (1) + f^{'} (1) =$ （）

A、 $- 4$ B、3 C、4 D、8

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$x$	1	2	3
$p$	$\frac{1}{3}$	$a$	$\frac{1}{2}$