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相关试卷

1、如图，四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面ABCD为长方形，侧面 $△ S A D$ 是等边三角形，平面 $S A D ⊥$ 平面ABCD

(1)、若E为棱SB的中点， $P$ 为棱AD的中点，求证： $P E / /$ 平面SCD

(2)、 $A B = 1$ ，异面直线SB，AD夹角的余弦为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．
①求棱AD的长度；
②在棱SA上是否存在点 $M$ ，使得平面PBM与平面SAD的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ ？若存在，指出点 $M$ 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.

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2、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $a (1 - \cos C) = b - c \cos A$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若点 $D$ 是边BC上， $\vec{C D} = \vec{D B}$ ，且 $A D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积最大值．

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3、已知函数 $f (x) = (x^{2} + a x - 5) e^{x}$

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线的斜率为 $e$ ，求实数 a 的值.

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4、在四面体 $A B C D$ 中， $A D ⊥$ 面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D = A B = 3$ ， $A C = 3 \sqrt{2}$ ，在四面体 $A B C D$ 的四个顶点都在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的半径为 $M$ ， $N$ 分别是 $△ A B C$ ， $△ A C D$ 的重心，直线 $M N$ 与球 $O$ 的表面相交于 $E$ ， $F$ 两点，则线段 $E F$ 的长度为

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5、任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 $1 \to 4 \to 2 \to 1$ .这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数 $m = 6$ ，根据上述运算法则得出 $6 \to 3 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$ ，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”），数列 ${a_{n}}$ 满足冰雹猜想，其递推关系为： $a_{1} = m$ （ m 为正整数）， $a_{n + 1} = \{\begin{matrix} \frac{1}{2} a_{n}, & 当 a_{n} 为偶数时， \\ 3 a_{n} + 1, & 当 a_{n} 为奇数时， \end{matrix}$ 若 $a_{4} = 2$ ，则 m 所有的可能取值为

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6、已知曲线 $y = ln x + x + 1$ ，则该曲线在 $x = 1$ 处的切线方程为

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7、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $P (1, m)$ 到焦点 F 的距离为2，又过点 F 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点，则下列说法正确的是（）

A、抛物线C方程为： $y^{2} = 4 x$ B、设 $Q (3, 2)$ ，则 $△ Q A F$ 周长的最小值为 $4 + 2 \sqrt{2}$ C、若 $\vec{B F} = \vec{F A}$ ，则直线AB的倾斜角为 $60^{°}$ D、x 轴上存在一点N，使 $k_{A N} + k_{B N}$ 为定值

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8、南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有 $1$ 个球，第二层有 $3$ 个球，第三层有 $6$ 个球，…，设各层球数构成一个数列 ${a_{n}}$ ，且 $a_{1} = 1$ ，数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则正确的选项是（）．

A、 $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ B、 $a_{100} = 4950$ C、 $S_{n} = \frac{2 n}{n + 1}$ D、 $a_{n} > S_{n}$

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9、某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（）

A、估计该年级学生成绩的众数为75 B、 $a = 0.05$ C、估计该年级学生成绩的75百分位数约为85 D、估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50

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10、已知圆台下底面的正底面在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（）

A、 $5 \sqrt{3} π$ B、 $7 \sqrt{3} π$ C、 $\frac{7 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3} π$

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11、已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 n 项和，且 $a_{8} < 0$ ， $a_{7} + a_{11} > 0$ ，则（）

A、 $a_{9} < 0$ B、 $S_{n}$ 的最小值为 $S_{8}$ C、数列 ${a_{n}}$ 为递减数列 D、 $S_{18} < 0$

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12、从集合 ${1, 2, 3, 4, 5}$ 中依次不放回的任取两个数，记事件 $A =$ “第一次取出的数字是1”，事件 $B =$ ”取出的两个数之和为7”，下列说法不正确的是（）

A、 $P (A) = \frac{1}{5}, P (B) = \frac{1}{5}$ B、 $A \cap B$ 为不可能事件 C、事件 A，B 相互独立 D、 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

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13、已知点 $A (1, 0)$ ， $B (2, 2)$ ， $O$ 为坐标原点，向量 $\vec{A C} = 4 \vec{C B}$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O C}$ =（）

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $\frac{8}{5}$ C、 $- \frac{9}{5}$ D、 $- \frac{8}{5}$

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14、若 $\sin (\frac{3 π}{8} - x) = \frac{2}{3}$ ，且 $0 < x < \frac{π}{2}$ ，则 $\sin (\frac{π}{8} + x) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{3}$

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15、集合 $A = \{x | y = \sqrt{1 - x^{2}}\}, B = \{y | y = 2 \sin x + 1\}$ . 则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，其前n项的积为 $T_{n}$ ，记 $b_{1} = T_{1}$ ， $b_{n} = \sqrt[n]{T_{n}} (n \geq 2)$ .
（1）若数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，数列 $\{b_{n}\}$ 为等差数列，求数列 $\{a_{n}\}$ 的公比.
（2）若 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，且 $n a_{n}_{- 1} - (n - 1) a_{n} = a_{n}_{- 1} a_{n}, (n \geq 3)$
①求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式.
②记 $c_{n} = \ln b_{n}$ ，那么数列 $\{c_{n}\}$ 中是否存在两项 $c_{s}, c_{t}$ ，（s，t均为正偶数，且 $s < t$ ），使得数列 $c_{s}$ ， $c_{8}$ ， $c_{t}$ ，成等差数列？若存在，求s，t的值；若不存在，请说明理由.

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17、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的虚轴长为4，直线 $2 x - y = 0$ 为双曲线 $C$ 的一条渐近线.
（1）求双曲线 $C$ 的标准方程；
（2）记双曲线 $C$ 的左､右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，斜率为正的直线 $l$ 过点 $T (2, 0)$ ，交双曲线 $C$ 于点 $M$ ， $N$ (点 $M$ 在第一象限)，直线 $M A$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ，直线 $N B$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，记 $△ P A T$ 面积为 $S_{1}$ ， $△ Q B T$ 面积为 $S_{2}$ ，求证： $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 为定值.

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18、如图，已知四边形 $A B C D$ 与 $E F A D$ 均为直角梯形，平面 $A B C D ⊥$ 平面EFAD， $A B ⊥ B C$ ， $A F ⊥ A D$ ， $M$ 为 $B F$ 的中点， $A F = A B = B C = 2 C D = 2 D E = 2$ .

(1)、证明： $C$ ， $E$ ， $F$ ， $M$ 四点共面；

(2)、求平面 $A M C$ 与平面 $A D E$ 夹角的余弦值.

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19、设函数 $f (x) = (x + a) \ln x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 为增函数，求 $a$ 的取值范围.

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20、在平面直角坐标系xOy中，已知点 $M (1, 0)$ ， $N (5, - 3)$ ， $P$ 是直线 $4 x - 3 y - 12 = 0$ 上任意一点，则 $\vec{O P} \cdot \vec{M N} =$ ．

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