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相关试卷

1、体育课上，同学们进行投篮测试，规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行50次投篮训练．已知甲同学每次投中的概率为 $\frac{1}{3}$ ，每次是否投中相互独立．

(1)、求甲同学通过测试的概率；

(2)、若乙同学每次投中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每次是否投中相互独立．经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X．求X的分布列与数学期望 $E (X)$ ．

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} (n \in N^{*})$ ．数列 $\{b_{n}\}$ 是公比为3的等比数列，且 $b_{1} = a_{1}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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3、已知函数 $f (x) = x^{m} + \log_{n} x$ （ $m > 0$ ， $n > 0$ 且 $n \neq 1$ ），若 $f (x) \geq 1$ 恒成立，则 $\frac{m}{n}$ 的最小值为．

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4、已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布 $N (90, σ^{2})$ ，且 $P (X < 70) = 0.2$ ，从试验田中随机抽取10株，果实个数在 $[90 ， 110]$ 的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为．

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5、在锐角 $Δ A B C$ 中， $B C = 1, B = 2 A,$ 则 $\frac{A C}{\cos A}$ 的值等于．

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6、设随机变量X的所有可能取为1，2，3，…，n，且 $P (X = i) = p_{i} > 0 (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ ， $\sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1$ ，现定义 $H (X) = - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \log_{2} p_{i}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $n = 1$ ，则 $H (X) = 0$ B、若 $p_{i} = \frac{1}{n} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ ，则 $H (X)$ 随着n的增大而增大 C、若 $n = 2$ ，则 $H (X)$ 的最小值为1 D、若 $n = 2 m$ ，随机变量Y的所有可能取值为1，2，…，m，且 $P (Y = j) = p_{j} + p_{j + m} (j = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, m)$ ，则 $H (X) > H (Y)$

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7、用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点．若抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线 $l_{1}$ 从点M射入，经过C上的点 $A (x_{1}, y_{1})$ 反射，再经过C上另—点 $B (x_{2}, y_{2})$ 反射后，沿直线 $l_{2}$ 射出，则（）

A、C的准线方程为 $x = - 1$ B、 $y_{1} y_{2} = - 4$ C、若点 $M (2, 1)$ ，则 $|A B| = \frac{11}{2}$ D、设直线 $O A$ 与C的准线的交点为 $N$ ，则点 $N$ 在直线 $l_{2}$ 上

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8、已知函数 $f (x) = ln |x|$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (- 4) < f (3)$ C、 $f (x)$ 无零点 D、 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递减

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9、已知 $α$ ， $β$ 均为锐角，且 $α + β - \frac{π}{2} > \sin β - \cos α$ ，则（）

A、 $\sin α > \sin β$ B、 $\cos α > \cos β$ C、 $\cos α > \sin β$ D、 $\sin α > \cos β$

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10、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F, M$ 分别为所在棱的中点， $P$ 为下底面的中心，则下列结论中错误的是（）

A、平面 $E F C_{1} ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ B、 $M P / / A C_{1}$ C、 $M P ⊥ C_{1} D$ D、 $E F / /$ 平面 $A D_{1} B_{1}$

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11、2024年惠州马拉松赛事期间，组委会需从甲、乙、丙、丁4位志愿者中选3位安排到物资分发、路线指引、医疗协助三个不同服务点，每个服务点1人．已知甲不能安排在物资分发服务点，则不同的安排方法共有（）

A、9种 B、12种 C、15种 D、18种

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12、已知 $cos (α + β) = \frac{1}{9}, cos (α - β) = - \frac{1}{3}$ ，则 $sin α sin β =$ （）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $- \frac{1}{9}$ D、 $- \frac{2}{9}$

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13、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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14、已知复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = 2$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 - i$ D、 $- 1 + i$

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15、已知集合 $A = \{x |x < - 2 或 x ＞ 3\}$ ， $B = \{x |m - 1 \leq x \leq 2 m + 3\}$ ， $m \in R$ .

(1)、若 $m = 2$ ，求 $A \cup B$ 和 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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16、若无穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足：， $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{1} > \frac{a_{1} + a_{2}}{2} > \cdot \cdot \cdot > \frac{a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}}{n} > \cdot \cdot \cdot$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 为“均值递减数列”.

(1)、已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\{a_{n}\}$ 为“均值递减数列”，求证： $\forall n \in N^{*}$ ， $S_{n} > n a_{n + 1}$ ；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式 $b_{n} = - 6 {(n - 4)}^{3} + n^{2}$ ，判断 $\{b_{n}\}$ 是否为“均值递减数列”，并说明理由；

(3)、若两个正项数列 $\{c_{n}\}$ 和 $\{d_{n}\}$ 均为“均值递减数列”，证明：数列 $\{c_{n} d_{n}\}$ 也为“均值递减数列”.

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17、已知函数 $f (x) = sin x$ ， $g (x) = e^{a x}$ ， $a \in R$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $O (0, 0)$ 的切线也是曲线 $y = g (x)$ 的切线，求 $a$ 的值；

(2)、讨论函数 $h (x) = \frac{x - 1}{g (x)}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的单调性；

(3)、若 $f (x) g (x) < x$ 对任意 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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18、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{3}{5}$ ，且经过点 $(3, \frac{16}{5})$ . $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是 $E$ 的左、右焦点.

(1)、求 $E$ 的标准方程；

(2)、过 $F_{2}$ 的直线与 $E$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点.若 $△ F_{1} P Q$ 的内切圆半径为 $r$ ， $r = \frac{\sqrt{3}}{10} |P Q|$ ，求 $|F_{2} P| \cdot |F_{2} Q|$ 的值.

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19、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $B C_{1} ⊥ A C$ .

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $A B C_{1}$ ；

(2)、若 $C C_{1} = 2 \sqrt{2}$ ，二面角 $C_{1} - A C - B$ 的大小为 $60 °$ ，求直线 $B C_{1}$ 与平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成角的正弦值.

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20、某种产品可以采用甲、乙两种工艺来生产，为了研究产品的质量与所采用的生产工艺的关联性，现对该种产品进行随机抽查，得到的结果如下表所示.
工艺甲
工艺乙
合计
合格
60
40
100
不合格
20
30
50
合计
80
70
150

(1)、依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析产品的质量是否与采用的工艺有关；

(2)、在不合格的50件样本产品中任选3件，求在这3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲生产的条件下，这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙生产的概率.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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	工艺甲	工艺乙	合计
合格	60	40	100
不合格	20	30	50
合计	80	70	150

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828