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相关试卷

1、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为1，公比为 $- 2$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前5项和为（）

A、11 B、16 C、 $- 15$ D、 $- 7$

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2、如图，已知 $△ A B C$ ， $A B = A C = 2 B C = 1$ ，且点 $P$ 是 $△ A B C$ 的重心.过点 $P$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 、 $A C$ 分别交于点 $E$ 、 $F$ .设 $\vec{A E} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = μ \vec{A C}$ （ $λ \neq 0$ ， $μ \neq 0$ ）.

(1)、求 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值，并判断 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由；

(2)、若 $△ A E F$ 的周长为 $C_{1}$ ， $△ A B C$ 的周长为 $C_{2}$ .设 $x = λ μ$ ，记 $f (x) = \frac{C_{1}}{C_{2}} - x$ ，求 $f (x)$ 的取值范围.

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3、如图，已知三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，底面 $△ A B C$ 是以 $B$ 为直角顶点的等腰直角三角形，体积为 $\frac{14 \sqrt{3}}{3}$ ，平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $A A_{1} = A_{1} B_{1} = B B_{1} = \frac{1}{2} A B$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求点 $B$ 到面 $A C C_{1} A_{1}$ 的距离；

(3)、在线段 $C C_{1}$ 上是否存在点 $F$ ，使得二面角 $F - A B - C$ 的大小为 $\frac{π}{6}$ ，若存在，求出 $C F$ 的长，若不存在，请说明理由.

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4、为推动习近平新时代中国特色社会主义思想深入人心，促进全社会形成爱读书、读好书、善读书的新风尚，培育有坚定理想信念、爱党爱国、堪当民族复兴大任的有为青年，某学校举办了读书节活动.现从该校的2000名学生中发放调查问卷，随机调查了100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照 $[0, 20)$ ， $[20, 40)$ ， … $[100, 120)$ ， $[120, 140]$ 组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

(1)、求 $a$ 的值，若每周课外阅读时间60分钟以上（含60分钟）视为达标，试估计该校达标的人数；

(2)、估计该校学生每周课外阅读的平均时间；

(3)、若样本数据在 $[0, 20)$ 与 $[20, 40)$ 内的方差分别为 $s_{1}^{2} = 3$ ， $s_{2}^{2} = \frac{5}{3}$ ，计样本数据在 $[0, 40)$ 内的方差 $s^{2}$ .

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5、已知 $△ A B C$ 的内角A， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 a + c - 2 b \cos C = 0$ .

(1)、求 $∠ B$ ；

(2)、若 $c = 2$ ， $D$ 为线段 $A C$ 的中点，且 $B D = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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6、某企业进入中学参与学校举办的模拟招聘会，设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试，笔试通过了才可以进入面试，面试通过后即可录用，李明参加该企业的模拟招聘.
笔试关：有4道题，应聘者随机从中选择2道，两道题均答对即可通过笔试，否则淘汰不予录用.已知李明能答对其中的3道题；
面试关：有2道题，面试者答对第一道题，则面试通过被企业录用，否则就继续答第二道题，答对第二道题则面试通过被企业录用，否则淘汰不予录用.已知李明答对每道面试题的概率都是 $\frac{1}{4}$ ，两道题能否答对相互独立.

(1)、李明笔试关中能答对的3道题记为 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ，不能答对的题记为 $b$ ，请写出李明参加笔试关所有可能结果构成的样本空间，并求出李明通过笔试关的概率；

(2)、求李明被录用的概率.

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7、已知一个圆台的上、下底面直径分别为2、8，母线长为6，则在圆台内部放置半径最大的球的表面积为.

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8、在 $△ A B C$ 中，已知 $|\vec{A B} + \vec{A C}| = |\vec{A B} - \vec{A C}| = 2 |\vec{A B}|$ ，则向量 $\vec{C A}$ 在向量 $\vec{C B}$ 上的投影向量为.

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9、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则下列说法中正确的是（）

A、若点 $O$ 为 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则 $M O / /$ 平面 $A_{1} D B$ B、连接 $B M$ ，则直线 $B M$ 与平面 $B D D_{1} B_{1}$ 成角正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、若点 $N$ 为线段 $B C$ 上的动点（包含端点），则 $M N + D N$ 的最小值为 $\sqrt{17}$ D、若点 $Q$ 在侧面正方形 $A D D_{1} A_{1}$ 内（包含边界），且 $M Q ⊥ A_{1} C$ ，则点 $Q$ 的轨迹长度为 $\sqrt{2}$

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10、已知 $i$ 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）

A、 $z = i^{2} + i^{3} + i^{4}$ 的虚部为 $- 1$ B、若 $z$ 是复数，满足 $(z - 1) i = 1 + i$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于第一象限 C、若 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 是非零复数，且 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ D、若 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 是非零复数，且 $z_{1}^{2} = z_{1} z_{2}$ ，则 $z_{1} = z_{2}$

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11、如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在 $t$ 秒时相对于平衡位置的高度 $h$ 厘米由关系式 $h (t) = A sin (ω t + φ)$ 确定，其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < π$ .小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（）

A、 $h (t) = A sin (π t + \frac{π}{2})$ B、 $t = 9$ 秒与 $t = \frac{5}{3}$ 秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C、当 $0 < t < t_{0}$ 时，若小球有且只有三次到达最高点，则 $t_{0} \in [5, 7]$ D、当 $0 < t_{1} < t_{2} < 2$ 时，若 $t_{1}, t_{2}$ 时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 $sin (\frac{π}{t_{1} + t_{2}}) = 1$

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12、 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 2$ ， $A = 30 °$ ，若三角形有唯一解，则整数 $b$ 构成的集合为（）

A、 $\{3\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

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13、已知样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 都为正数，其方差 $s^{2} = \frac{1}{5} (\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} - 80)$ ，则样本数据的平均数为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{5}$ C、4 D、 $4 \sqrt{5}$

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14、抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件 $A =$ “第一枚硬币正面朝上”，事件 $B =$ “第二枚硬币反面朝上”，事件 $C =$ “两枚硬币都正面朝上”，事件 $D =$ “至少一枚硬币反面朝上”则（）

A、 $C$ 与 $D$ 独立 B、 $A$ 与 $B$ 互斥 C、 $P (D) = \frac{1}{2}$ D、 $P (A \cup B) = \frac{3}{4}$

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15、已知两条不同的直线 $m$ ， $n$ 及三个不同的平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ 则下列推理正确的是（）

A、 $α ⊥ β, α \cap β = n$ ， $m ⊥ n \Rightarrow m ⊥ β$ B、 $α ⊥ γ, β ⊥ γ \Rightarrow α ⊥ β$ C、 $α \cap β = m$ ， $n / / α$ ， $n // β \Rightarrow m // n$ D、 $m ⊥ n$ ， $n ⊥ α \Rightarrow m / / α$

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16、将函数 $f (x) = sin (ω x + φ)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位后，与函数 $g (x) = cos (ω x + φ)$ 的图象重合，则 $ω$ 的值可以是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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17、已知一个矩形较长边长为2用斜二测画法画出矩形的直观图是菱形，则直观图的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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18、设 $x \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 1)$ ， $\vec{b} = (4, - 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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19、如图1，由射线PA、PB、PC构成的三面角 $P - A B C$ ， $∠ A P C = α$ ， $∠ B P C = β$ ， $∠ A P B = γ$ ，二面角 $A - P C - B$ 的大小为 $θ$ ，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理： $\cos γ = \cos α \cos β + \sin α \sin β \cos θ$ ．

(1)、如图2，在三棱锥 $P - A B C$ 中，点M是点B在平面APC中的投影， $B D ⊥ P C$ ，连接MD， $P A = 4$ ， $∠ A P C = 60 °$ ， $∠ B P C = 45 °$ ， $∠ A P B = 90 °$ ， $P B + P C = 8$ ．
①求平面APC与平面BPC所成的角的正弦值；
②求三棱锥 $P - A B C$ 体积的最大值；

(2)、当 $α$ 、 $β$ 、 $γ \in (0, \frac{π}{2})$ 时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理．

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20、如图，正四棱锥 $S - A B C D$ ， $S A = S B = S C = S D = 4$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， P为侧棱 $S D$ 上的点，且 $S P = 3 P D$ ，

(1)、求正四棱锥 $S - A B C D$ 的表面积；

(2)、求点 $S$ 到平面 $P A C$ 的距离；

(3)、侧棱 $S C$ 上是否存在一点E，使得 $B E //$ 平面 $P A C$ .若存在，求 $\frac{S E}{E C}$ 的值；若不存在，试说明理由.

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