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相关试卷

1、存在函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x \in R$ 都有（）

A、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ B、 $f (|x + 1|) = x^{2}$ C、 $f (x^{2}) = |x + 1|$ D、 $f (x^{2} + 2 x) = |x + 1|$

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2、设全集 $U = \{x \in N^{*} |x \leq 8\}$ ，集合 $A = \{1, 3, 5, 8\}$ ， $B = \{5, 6, 7, 8\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cup (∁_{U} B)$ =（）

A、 $\{1, 2, 3, 4, 5, 8\}$ B、 $\{1, 2, 3, 4, 6, 7\}$ C、 $\{5, 6, 7, 8\}$ D、 $\{2, 4\}$

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $cos A (tan A + tan B) = 2 sin C$ .

(1)、求角 $B$ 的值；

(2)、若 $a = 2, c = 5$ ，边 $A C$ 上的中点为 $D$ ，求 $B D$ 的长度.

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4、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + 2 \sqrt{3} \cos^{2} x - \sqrt{3}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间；

(2)、当 $x \in [0, \frac{π}{4}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域．

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5、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $A = \frac{2 π}{3}$ .

(1)、若 $B = C$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $c$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ， $c = 2$ ，求 $b$ .

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6、岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度 $A B$ ，他首先在 $C$ 处，测得楼顶 $A$ 的仰角为 $60 °$ ，然后沿 $B C$ 方向行走22.5米至 $D$ 处，又测得楼顶 $A$ 的仰角为 $30 °$ ，则楼高 $A B$ 为米．

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7、正方形 $A B C D$ 的面积为16， $\vec{A M} = \vec{M B}$ ，点 $N$ 在线段 $C D$ 上．若 $\vec{A M} \cdot \vec{A N} = \frac{4}{3} | \vec{A M} |^{2}$ ，则 $|\vec{A N}| =$ ．

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8、若角 $θ$ 的终边经过点 $P (1, 3)$ ，则 $\sin θ \cos θ + \cos^{2} θ =$ .

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9、下列说法中正确的有（）

A、 $|(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}|$ B、已知 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ 且 $| \vec{b} | = 5$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{25}{2}$ C、若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角是 $30 °$ D、已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 夹角为锐角，则 $λ$ 的取值范围是 $(- \frac{5}{3}, + \infty)$

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10、下列结论正确的是（）

A、 $\sin (α - \frac{π}{2}) = - \cos α$ B、 $\cos (α - π) = - \cos α$ C、 $\tan (- α - π) = - \tan α$ D、 $\cos (\frac{5 π}{2} + α) = \sin α$

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11、式子 $\frac{\sin 20 ° \sqrt{1 + \cos 40 °}}{\cos 50 °}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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12、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) + k (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6}) + 1$ B、 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6}) - 1$ C、 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{3}) + 1$ D、 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{3}) - 1$

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13、 $\sin 25 ° \cos 20 ° + \cos 25 ° \sin 20 ° =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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14、如图，在等边三角形 $A B C$ 中， $A B = 2$ ，点 $M$ ， $N$ 是边 $B C$ 上的两动点，满足 $∠ M A N = \frac{π}{6}$ ，记 $∠ B A M = θ$ .

(1)、若 $sin θ = \frac{1}{2}$ ，求 $M N$ 的长；

(2)、求 $M N$ 的最小值.

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15、已知复数 $z = 3 + m i$ ， $m \in R$ ，其中 $i$ 为虚数单位，若 $\frac{z}{1 + 3 i} > 0$ .

(1)、若 $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，求 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点的坐标；

(2)、若复数 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + b x + c = 0 (b, c \in R)$ 的一个根，求实数 $b$ ， $c$ 的值.

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16、如图，已知等腰梯形 $A B C D$ ， $A B ∥ C D$ ， $A B = 3$ ， $A D = 2$ ， $D C = 1$ .点 $E$ 满足 $\vec{B E} = \vec{E C}$ ，点 $F$ 在 $A B$ 上，满足 $D F ⊥ A E$ 交 $A E$ 于 $G$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A E}$ ，并求 $\vec{A E}$ 的模；

(2)、求 $A G$ 的长.

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17、已知在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ， $E$ 为棱 $D D_{1}$ 的中点.

(1)、求三棱锥 $E - A_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面积；

(2)、求四棱锥 $E - A A_{1} C_{1} C$ 的体积.

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18、给出下列四个命题，其中正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = (t - 2, 2 t + 3)$ ， $\vec{A C} = (4, 1)$ ，若角 $A$ 为钝角，则实数 $t$ 的取值范围为 $t < \frac{5}{6}$ B、在 $△ A B C$ 中，若 $|\vec{O A} - \vec{O B} |=| \vec{O A} + \vec{O B} - 2 \vec{O C}|$ ，则 $△ A B C$ 为等腰直角三角形 C、在 $△ A B C$ 中，若 $a = 2, b = 3, c = 4$ ，则 $\vec{A C}$ 在 $\vec{A B}$ 方向上的投影向量的模为 $\frac{21}{8}$ D、在 $△ A B C$ 中，若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心

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19、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = \sqrt{7}$ ，若点 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，点 $M$ 满足 $\vec{B M} = 2 \vec{M C}$ 的点，则 $\vec{A O} \cdot \vec{A M} =$ （）

A、 $\frac{13}{4}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{11}{4}$ D、3

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20、折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若 $A D = D B$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，且圆台的表面积为 $42 π$ ，则该圆台的高为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、 $2 \sqrt{6}$

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