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1、“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆 $O$ 的半径2，点 $P$ 是圆 $O$ 内的定点，且 $O P = \sqrt{2}$ ，弦 $A C, B D$ 均过点 $P$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 为定值 B、当 $A C ⊥ B D$ 时， $\vec{A B} \cdot \vec{C D}$ 为定值 C、 $\vec{O A} \cdot \vec{O C}$ 的取值范围是 $[- 4, 0]$ D、 $|\vec{A C}| \cdot |\vec{B D}|$ 的最大值为12

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2、已知平面向量 $\vec{a} = (\sin α, \sqrt{2})$ ， $\vec{b} = (\cos α, 1)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、0 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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3、在下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (0, 0)$ ， $\vec{e_{2}} = (1, 2)$ B、 $\vec{e_{1}} = (- 1, 2)$ ， $\vec{e_{2}} = (5, - 2)$ C、 $\vec{e_{1}} = (3, 5)$ ， $\vec{e_{2}} = (6, 10)$ D、 $\vec{e_{1}} = (2, - 3)$ ， $\vec{e_{2}} = (- 2, 3)$

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4、已知 $O$ 为坐标原点，对于函数 $f (x) = a sin x + b cos x$ ，称向量 $\vec{O M} = (a, b)$ 为函数 $f (x)$ 的伴随向量，同时称函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M}$ 的伴随函数.

(1)、设函数 $g (x) = \sin (x + \frac{5 π}{6}) + \cos (\frac{3 π}{2} + x)$ ，试求 $g (x)$ 的伴随向量的坐标；

(2)、记向量 $\vec{O N} = (1, \sqrt{3})$ 的伴随函数为 $f (x)$ ，当 $f (x) = \frac{8}{5}$ 且 $x \in (- \frac{π}{3}, \frac{π}{6})$ 时，求 $\sin x$ 的值；

(3)、设向量 $\vec{O P} = (2 λ, - 2 λ)$ ， $λ \in R$ 的伴随函数为 $u (x)$ ， $\vec{O Q} = (1, 1)$ 的伴随函数为 $v (x)$ ，记函数 $h (x) = u (x) + v^{2} (x)$ ，求 $h (x)$ 在 $[0, π]$ 上的最大值.

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5、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (ω > 0, A > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的一段图象过点 $(0, 1)$ ，如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的表达式；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $y = g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域；

(3)、若 $f (α) = \frac{2}{3}, α \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $f (α - \frac{π}{4})$ 的值.

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6、已知 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 8$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、当 $k$ 为何值时， $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} - \vec{b})$ ．

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7、已知 $\vec{a} = (\sin α, 1 - 4 \cos 2 α)$ ， $\vec{b} = (1, 3 \sin α - 2)$ ， $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\frac{\sin 2 α}{2 + \cos^{2} α} =$ （）

A、 $\frac{2}{11}$ B、 $\frac{4}{11}$ C、 $\frac{6}{11}$ D、 $\frac{8}{11}$

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8、某电子产品制造企业为了提升生产质量，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）.
质是指标值
$[25, 35)$
$[35, 45)$
$[45, 55)$
$[55, 65)$
$[65, 75)$
$[75, 85)$
$[85, 95)$
产品
60
100
160
300
200
100
80

(1)、估计这组样本的质量指标值的平均数 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ （同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；

(2)、设 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数， $\{x\}$ 表示不小于 $x$ 的最小整数， $s$ 精确到个位， $a_{1} = 5 \{\frac{\bar{x} - s}{5}\}, b_{1} = 5 \cdot [\frac{\bar{x} + s}{5}], a_{2} = 5 \cdot \{\frac{\bar{x} - 2 s}{5}\}, b_{2} = 5 \cdot [\frac{\bar{x} + 2 s}{5}]$ .根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有 $65 %$ 落在 $[a_{1}, b_{1}]$ 内，则可以判断技术改造后的产品质量初步稳定；若有 $95 %$ 落在 $[a_{2}, b_{2}]$ 内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？

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9、在直角梯形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， $B C = 2 A D = 2 A B = 2 \sqrt{2}$ ， ∠ABC＝90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A－BD－C的平面角为 $θ$ （如图2），M、N分别是BD和BC中点．

(1)、若E是线段BN的中点，动点F在三棱锥A－BMN表面上运动，并且总保持FE⊥BD，求动点F的轨迹的长度（可用 $θ$ 表示），详细说明理由；

(2)、若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得 $\frac{A P}{P B} = \frac{N Q}{Q D} = λ (λ \in R)$ ，令PQ与BD和AN所成的角分别为 $θ_{1}$ 和 $θ_{2}$ ，求 $\sin θ_{1} + \sin θ_{2}$ 的取值范围．

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10、在锐角三角形 $A B C$ 中，内角A， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sin^{2} A - 2 \sin A \cos B \sin C + \sin^{2} C = \frac{3}{4}$ ．

(1)、求角 $B$ 的值．

(2)、求 $\frac{a + c}{2 b}$ 的取值范围．

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11、勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体 $A B C D$ 的棱长为1，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为；用过 $A, B, C$ 三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为.

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12、某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 、 $\frac{2}{3}$ 、 $\frac{1}{2}$ ，对实验甲、乙、丙各进行一次，则至少有一次成功的概率为．（结果用最简分数表示）

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13、某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为人.

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14、已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, m)$ 的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s_{x}^{2}$ ；第二部分样本数据 $y_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 的平均数为 $\bar{y}$ ，方差为 $s_{y}^{2}$ ，设 $\bar{x} \leq \bar{y}, s_{x}^{2} \leq s_{y}^{2}$ ，则以下命题正确的是（）

A、设总样本的平均数为 $\bar{z}$ ，则 $\bar{x} \leq \bar{z} \leq \bar{y}$ B、设总样本的平均数为 $\bar{z}$ ，则 ${\bar{z}}^{2} \geq \bar{x} \cdot \bar{y}$ C、设总样本的方差为 $s^{2}$ ，则 $s_{x}^{2} \leq s^{2} \leq s_{y}^{2}$ D、若 $m = n, \bar{x} = \bar{y}$ ，则 $s^{2} = \frac{s_{x}^{2} + s_{y}^{2}}{2}$

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15、如图，在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = 2 A A_{1} = 4$ ， $∠ B_{1} B C = \frac{π}{3}$ ，棱 $B_{1} C_{1}$ ， $B C$ 的中点分别为D，E，点P在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内运动（包含边界），且 $A P = 2 \sqrt{7}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A D ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ B、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{50 \sqrt{2}}{3}$ C、 $A P$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正切值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、动点P形成的轨迹长度为 $\frac{4 π}{3}$

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16、已知 $O (0, 0)$ ， $P_{0} (1, 0)$ ， $P_{1} (\cos α, \sin α)$ ， $P_{2} (- \cos β, \sin β)$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $α + β = π$ ，则 $\vec{O P_{1}} \cdot \vec{O P_{0}} = \vec{O P_{2}} \cdot \vec{O P_{0}}$ B、若 $α + β = \frac{π}{2}$ ，则 $\vec{O P_{1}} ⊥ \vec{O P_{2}}$ C、若 $|\vec{P_{0} P_{1}}| = |\vec{P_{0} P_{2}}|$ ，则 $α = - β$ D、若 $\vec{O P_{0}} + \vec{O P_{2}} = \vec{O P_{1}}$ ，且 $α$ ， $β$ 均为锐角，则 $α = β = \frac{π}{3}$

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17、“木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度.某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水.根据该同学的说法，若有一个如图①所示的圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口距离为2，若按照图②的方式盛水，形成了一个椭圆水面，水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平，且MN为该椭圆水面的长轴.则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为（）

A、 $2 π$ B、 $3 π$ C、 $4 π$ D、 $6 π$

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18、圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为 $23 °$ （ $∠ A B C$ ）和 $83 °$ （ $∠ A D C$ ）．设表高 $A C$ 为1米，则影差 $B D \approx$ （）（参考数据： $\sin 16 ° \approx 0.276$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

A、2.016米 B、2.232米 C、2.428米 D、2.614米

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19、某校举办歌唱比赛，将200名参赛选手的成绩整理后画出频率分布直方图如图，根据频率分布直方图，第40百分位数估计为（）

A、64 B、65 C、66 D、67

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20、在直角梯形ABCD中， $A B // C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = 3$ ， $A D = C D = 2$ ， M是CD的中点，N在BC上，且 $\vec{B N} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ，则 $\cos ⟨\vec{B M}, \vec{D N}⟩ =$ （）

A、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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质是指标值	$[25, 35)$	$[35, 45)$	$[45, 55)$	$[55, 65)$	$[65, 75)$	$[75, 85)$	$[85, 95)$
产品	60	100	160	300	200	100	80