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相关试卷

1、若函数 $y = f (x)$ 满足 $f (x) = f (x + \frac{3 π}{2})$ 且 $f (\frac{π}{4} + x) = f (\frac{π}{4} - x) (x \in R)$ ，则称函数 $y = f (x)$ 为“M函数”．

(1)、试判断 $y = sin \frac{4}{3} x$ 是否为“M函数”，并说明理由；

(2)、函数 $g (x)$ 为“M函数”，其在 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{4}]$ 的图象落在直线 $6 x + 8 y + 3 π = 0$ 上，在函数 $g (x)$ 图象上任取一点P，对于定点 $A (2024 π, 0)$ ，求线段AP的最小值；

(3)、函数 $f (x)$ 为“M函数”，且当 $x \in [\frac{π}{4},π]$ 时， $y = sin x$ ，求 $f (x)$ 的解析式；若当 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{5 π}{2}]$ ，关于x的方程 $f (x) = a$ （a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S．

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2、亚运聚欢潮，璀璨共此时.2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛．为更好地了解该校学生对本届亚运会有关赛事和知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查的结果绘制的学生成绩频率分布直方图如图所示，

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、估计这600名学生成绩的中位数；

(3)、根据频率分布直方图，按分层抽样的方法从成绩在 $[40, 60), [90, 100]$ 的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率．

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3、已知四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $∠ A D C = 90^{\circ}, A D // B C, △ A B D$ 为等腰直角三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为 $P A$ 的中点， $A D = 2 B C = 2 \sqrt{2}, P A = 3 P D = 3$ ．

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求三棱锥 $B - D E P$ 的体积．

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4、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c， $B \in (\frac{π}{2},π), a = 3, b = 2 c$ ，且 $9 \sin B - 2 \sin C = 2 \sqrt{15}$ ，则 $△ A B C$ 的周长为.

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5、已知向量 $\vec{a} = (- 22, 90, 28), \vec{b} = (11, - 45, k)$ ，若 $\vec{a}, \vec{b}$ 共线，则 $k =$ ．

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6、已知函数 $f (x) = \cos 2 x - 2 \sqrt{3} \sin x \cos x$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ； B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{3}$ 对称； C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{2 π}{3}, - \frac{π}{6}]$ 上单调递减； D、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度后所得到的图象与函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象重合．

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7、盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件 $A =$ “两个球颜色相同”， $B =$ “第1次取出的是红球”， $C =$ “第2次取出的是红球”， $D =$ “两个球颜色不同”.则下列说法正确的是（）

A、A与 $B$ 相互独立 B、A与 $D$ 互为对立 C、 $B$ 与 $C$ 互斥 D、 $B$ 与 $D$ 相互独立

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8、已知四面体ABCD的各顶点均在球 $O$ 的球面上，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D, A B = B C =$ $A C = C D = 2,$ $B C ⊥ C D$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $\frac{16 π}{3}$ B、 $8 π$ C、 $\frac{28 π}{3}$ D、 $12 π$

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9、已知正数 $x$ ， $y$ 满足 $2 \sqrt{3} x + 2 y - x y = 0$ ，则当 $x y$ 取得最小值时， $x + 2 y =$ （）

A、 $4 + 8 \sqrt{3}$ B、 $2 + 4 \sqrt{3}$ C、 $3 + 6 \sqrt{3}$ D、 $8 + 6 \sqrt{3}$

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10、设点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (1, 0)$ ，若直线 $2 x + y - b = 0$ 与线段 $A B$ 相交，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $[0, 2]$ C、 $[- 2, 2]$ D、 $(- 2, 2]$

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11、函数 $f (x) = x^{2} + (a - 1) x + 1$ 有两个零点的充分不必要条件是（）

A、 $a > 3$ B、 $- 1 < a < 3$ C、 $a < - 1$ 或 $a > 3$ D、 $a < 0$

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12、已知 $tan α = \sqrt{2}$ ， $α$ 为第三象限角，则 $\sqrt{2} sin α + cos α =$ （）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $- 2 \sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $- 2 \sqrt{3}$

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13、某同学掷骰子5次，记录了每次骰子出现的点数，则从以下情况中可以判断出这组数据一定没有出现点数6的是（）

A、平均数为3，中位数为2 B、中位数为3，众数为2 C、中位数为3，方差为2.8 D、平均数为2，方差为2.4

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14、已知复数 $z = \frac{10 i}{1 - 3 i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $3$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $4$ D、 $5$

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15、在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别为棱 $A D, B B_{1}$ 的中点. 点 $P$ 为正方体表面上的动点，满足 $A_{1} P ⊥ E F$ . 给出下列四个结论：
①线段 $A_{1} P$ 长度的最大值为 $2 \sqrt{3}$ ；
②存在点 $P$ ，使得 $D P // E F$ ；
③存在点 $P$ ，使得 $B_{1} P = D P$ ；
④ $△ E P F$ 是等腰三角形.

其中，所有正确结论的序号是．

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $(a + b) : (a + c) : (b + c) = 9 : 10 : 11$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\sin A : \sin B : \sin C = a : b : c = 4 : 5 : 6$ B、 $△ A B C$ 是钝角三角形 C、 $△ A B C$ 的最大内角是最小内角的 $2$ 倍 D、若 $c = 6$ ，则 $△ A B C$ 外接圆半径为 $\frac{8 \sqrt{7}}{7}$

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17、如图所示，已知点 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，过点 $G$ 作直线分别交 $A B, A C$ 两边于 $M, N$ 两点，且 $\vec{A M} = x \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = y \vec{A C}$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2} + 3}{3}$ B、 $2 \sqrt{2} + 3$ C、4 D、2

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18、已知集合 $A = \{x |3 \leq x < 7\}$ ， $B = \{x |2 < x < 10\}$ ，求： $A \cap B$ ， $∁_{R} (A \cup B)$ ，

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19、 $\forall x \in R$ ，用 $M (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 的较小者，记为 $M (x) = min \{f (x), g (x)\}$ ，若 $f (x) = x + 1$ ， $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $M (2) = - 3$ B、函数 $M (x)$ 有最大值，无最小值 C、不等式 $M (x) \leq - 4$ 的解集是 $(- \infty, - 5]$ D、若 $a, b, c$ 是方程 $M (x) + 1 = 0$ 的三个不同的实数解，则 $a + b + c = 0$

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20、如图，在正六棱柱 $A B C D E F - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 中， $M$ 为 $F F_{1}$ 的中点．设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A F} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{D M}$ ， $\vec{B E_{1}}$ ；

(2)、若 $|\vec{a}| = |\vec{c}| = 2$ 求 $\vec{D M} \cdot \vec{B E_{1}}$ 的值．

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