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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \ln (1 - x) + k \ln (1 + x)$ ．请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题．
条件①： $f (x) + f (- x) = 0$ ；
条件②： $f (x) - f (- x) = 0$ ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．

(1)、求实数k的值；

(2)、设函数 $F (x) = (1 - x) {(1 + x)}^{k}$ ，判断函数 $F (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上的单调性，并给出证明；

(3)、设函数 $g (x) = f (x) + x^{k} + 2 | k |$ ，指出函数 $g (x)$ 在区间 $(- 1, 0)$ 上的零点个数，并说明理由．

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2、已知定义域为 $R$ 的单调减函数 $f (x)$ 是奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{x}{3} - 2^{x}$ .

(1)、求 $f (0)$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的解析式；

(3)、若对任意的 $t \in R$ ，不等式 $f (t^{2} - 2 t) + f (2 t^{2} - k) < 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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3、科赫 $(Koch)$ 曲线是几何中最简单的分形．科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若 $r^{D} = \frac{1}{N}$ ，则称D为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形维数是（）

A、 $\log_{2} 3$ B、 $\log_{3} 2$ C、1 D、 $2 \log_{3} 2$

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4、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x} + 1} - \frac{a}{2}$ ，则“ $a = 1$ ”是“ $f (x)$ 为奇函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、已知 $a = 2^{0.1}, b = \log_{2} \sqrt{3}, c = \log_{3} \sqrt{2}$ ，则实数a，b，c的大小关系是（）

A、 $c > a > b$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $a > b > c$

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6、下列函数中，既是奇函数，又在 $(0, + \infty)$ 上单调递减的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x}$ B、 $f (x) = - x |x|$ C、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ D、 $f (x) = x^{3}$

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7、已知全集 $U = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ，集合 $A = \{- 2, - 1, 0\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\{1, 2, 3\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $(0, 2)$ D、 $(1, 2)$

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8、（1）计算 ${(2 \frac{1}{4})}^{0.5} - {(2 \frac{10}{27})}^{- \frac{2}{3}} - π^{0}$ ；
（2）计算 ${(\lg 5)}^{2} + \lg 2 \times \lg 50 + \lg 0.01$ ；
（3）已知 $a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}} = 2 \sqrt{3}$ ，求式子 $\frac{a + a^{- 1}}{a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}}}$ 的值.

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9、 $\max \{f (x), g (x)\}$ 表示 $f (x)$ 与 $g (x)$ 中的较大者，设 $h (x) = \max \{|x + 1|, - x^{2} + 2 x + 3\}$ ，则函数 $h (x)$ 的最小值是.

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10、 $a = \log_{\frac{1}{2}} 2$ ， $b = 2^{0.3}$ ， $c = {0.3}^{0.2}$ ，则下列正确的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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11、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，虚轴长为4.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l : y = m x + 1$ 与双曲线 $C$ 相交于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点， $△ A O B$ 的面积是 $2 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D, A D ⊥ D C, A B$ $/ /$ $D C$ ， $A B = \frac{1}{2} C D = A D = 1, M$ 为棱 $P C$ 的中点.

(1)、证明： $B M //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $P D = 1$ ，求平面 $P D M$ 和平面 $B D M$ 夹角的余弦值.

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13、已知 $A (1, 2) ､ B (3, 6)$ ，动点 $P$ 满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = - 4$ ，设动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、求过点 $A (1, 2)$ 且与曲线 $C$ 相切的直线的方程.

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14、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}, O$ 为坐标原点，若在 $C$ 的右支上存在关于 $x$ 轴对称的两点 $P, Q$ ，使得 $△ P F_{1} Q$ 为正三角形，且 $O Q ⊥ F_{1} P$ ，则 $C$ 的离心率为.

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15、已知空间中的三点 $A (- 2, 0, 2), B (- 1, 1, 2), C (- 3, 0, 4)$ ，则点 $B$ 到直线 $A C$ 的距离为．

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16、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = A A_{1} = 2$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $E$ ， $F$ 分别为棱 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点， $D$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的动点，则（）

A、 $B F ⊥ D E$ B、该三棱柱的体积为4 C、过 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $E$ 三点截该三棱柱的截面面积为 $\sqrt{5}$ D、直线 $D E$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正切值的最大值为 $\frac{1}{2}$

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17、已知直线l： $x - y + 5 = 0$ 与圆C： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 7 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、点 $A (3, 1)$ 在圆C外 B、直线l与圆C相离 C、点P为圆C上的动点，点Q为直线l上的动点，则 $|P Q|$ 的取值范围是 $[\sqrt{2}, + \infty)$ D、将直线l下移4个单位后得到直线l＇，则圆C上有且仅有3个点到直线l＇的距离为 $\sqrt{2}$

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18、已知直线 $l_{1} : 3 x + a y + 1 = 0, l_{2} : (a + 2) x + y + a = 0$ ，（）

A、当 $a = \sqrt{3}$ 时，直线 $l_{1}$ 的倾斜角为 $60^{\circ}$ B、当 $a = - \frac{3}{2}$ 时， $l_{1} ⊥ l_{2}$ C、若 $l_{1}$ $/ /$ $l_{2}$ ，则 $a = - 3$ 或 $a = 1$ D、直线 $l_{2}$ 始终过定点 $(- 1, 2)$

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19、已知点 $P$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上任意一点，直线 $l$ 过 $⊙ M : x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ 的圆心且与 $⊙ M$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围是（）

A、 $[3, 35]$ B、 $[2, 34]$ C、 $[2, 36]$ D、 $[4, 36]$

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20、空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，经过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且法向量为 $\vec{m} = (A, B, C)$ 的平面方程为 $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ ，经过点 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个方向向量为 $\vec{n} = (a, b, c) (a b c \neq 0)$ 的直线 $l$ 的方程为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ ，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面 $α$ 的方程为 $2 x - 3 y - z = 0$ ，经过点 $(0, 0, 0)$ 的直线 $l$ 的方程为 $\frac{x}{- 1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 3}$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{5}{14}$ B、 $\frac{3}{14}$ C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{3}{13}$

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