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相关试卷

1、已知四棱锥 $P - A B C D, P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $A B = 2, P A = A D = 4, E$ 为 $P A$ 的中点， $F$ 为 $C D$ 上一点，若 $P F$ 与平面 $B E F$ 所成角的正弦值为 $\frac{8}{33}$ ，则 $C F =$ ．

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2、已知 $\vec{a} = (1, 0, - 1), \vec{b} = (2, 1, 1)$ ，则 $3 \vec{a} + \vec{b} =$ .

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3、已知 $\{a_{n}\}$ 是各项均为正数的等比数列， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{3}, 3 a_{2}, a_{4}$ 成等差数列.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

(2)、设 $b_{n} = a_{n} + {log}_{2} a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

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4、侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为1，往里第二个正方形为 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ ， …，往里第 $n$ 个正方形为 $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ ．那么第7个正方形的周长是，至少需要前个正方形的面积之和超过2．（参考数据： $\lg 2 = 0.301$ ， $\lg 3 = 0.477$ ）．

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5、如图所示，CD是某校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB（高为 $(15 \sqrt{3} - 15)$ 米）与雕像之间的地面上的点M处（B，M，D三点共线）测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为30°，假设AB､CD和点M在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为米．

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6、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{10} - S_{3} = 35, a_{3} + a_{10} = 7$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为.

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7、设复数 $z$ 满足 $\frac{z}{1 - 2 i} = 1 + 3 i$ ，则它的共轭复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、1 B、 $i$ C、 $- 1$ D、 $- i$

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8、对于 $△ A B C$ ，若存在 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，满足 $\frac{\sin A}{\cos A_{1}} = \frac{\sin B}{\cos B_{1}} = \frac{\sin C}{\cos C_{1}} = 1$ ，则称 $△ A B C$ 为“ $Λ$ 类三角形”，则“ $Λ$ 类三角形”一定满足有一个内角为定值，为.

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9、已知 $\sin (θ - \frac{π}{3}) = - \frac{1}{3}$ ，且 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $\cos (\frac{2 π}{3} + θ) =$ ．

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10、已知实数m，n满足 $2^{m} = 9^{n} = 18$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} =$ ．

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11、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 为菱形， $∠ A_{1} A C = 60 °$ ， $A_{1} B = A_{1} A = 2$ ．

(1)、证明：平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $E$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 中点，求直线 $C E$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的余弦值．

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12、春节是中华民族的第一大节，在中华文明史上有着重要地位.2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.据不完全统计，如今有近20个国家和地区将春节作为法定节假日，春节民俗活动已走进近200个国家和地区，成为全球文化盛事.四川省南充市阆中市是中国传统节日——春节的发源地.阆中不仅在历史上对春节文化的形成有着重要贡献，至今仍保留着丰富的春节庆祝活动.每年的春节期间，阆中会举行各种传统民俗活动，如舞龙、舞狮、打鼓、唱歌、书法展览和民间艺术表演等，这些活动展现了浓厚的年味和地方文化特色.为了促进阆中旅游业的发展，阆中市文旅局计划在阆中古城开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目在2025年接待x万名游客，则需追加管理及维修成本 $g (x)$ 万元，且 $g (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 20 x + 100, 0 \leq x < 40, 100 x \in N \\ \frac{165}{2} x + \frac{9000}{x} - 1150, 40 \leq x \leq 100, 100 x \in N \end{array}$ ，该游玩项目的每张门票售价为80元．

(1)、求2025年该项目的利润 $W (x)$ （万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）；

(2)、当2025年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？

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13、设函数 $f (x) = \{\begin{cases} 3^{x} + 1, x \leq 0 \\ |\log_{4} x|, x > 0 \end{cases}$ ，若关于 $x$ 的函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - (a + 2) f (x) + 3$ 恰好有六个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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14、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a^{x} + 1, x > 1. \\ (3 - 2 a) x + 2, x \leq 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的增函数．则实数a的取值范围为．

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15、幂函数 $f (x) = (m^{2} + 2 m - 2) x^{m}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则实数m的值为.

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16、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数 $y = [x]$ 称为高斯函数，其中 $x \in R$ ， $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如： $[- 2.1] = - 3$ ， $[3.1] = 3$ .已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 3 x + 4} + \frac{8}{9}$ ，则函数 $y = [f (x)]$ 的值域是.

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17、第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动.盒中装有5个除颜色外均相同的小球，其中2个是红球，3个是黄球.每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出1球，若取出的是红球，则可领取“隐形战机歼-35A”模型，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“隐形战机歼-20S”模型，并将该球放回盒中.则在第2位顾客抽中“歼-20S”模型的条件下，第1位顾客抽中“隐形战机歼-35A”模型的概率为.

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $(c - b) sin C = (a + b) (sin A - sin B)$ ，则 $A =$ .

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19、某商场举行活动，充值积分若干后，可以用积分购买特定商品．参与此活动的商品有1积分的签字笔，2积分的草稿本和2积分的便利贴．要求每天必须用积分购买商品且每天只能购买一次．花2积分购买草稿本或者购买便利贴算不同的用完积分的方式．

(1)、假设梅菊同学充值4积分，则该同学有多少种方式用完积分（只写出答案，不用写过程）；

(2)、假设代仕同学有 $n$ 点积分，该同学用完 $n$ 点积分的方式种数记为 $a_{n}$ ，求 $a_{n}$ 表达式；

(3)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{2 n - 1}}$ ，记 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < \frac{4}{3}$ ．

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20、已知函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x < 0$ 时， $f (x) < a x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、关于 $x$ 的方程 $f (x) = b$ 有两个不相等的正实数解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $\sqrt{3} - 1 < x_{1} < x_{2}$ ，求证： $x_{2} - x_{1} < \frac{b + 2 b e + 4 e^{2}}{2 e^{2}}$ ．

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