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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x + \frac{a^{2}}{x} (a > 0), g (x) = \frac{1 - x}{1 + x}$ .

(1)、证明：函数 $f (x)$ 在区间 $(0, a)$ 上单调递减，在区间 $(a, + \infty)$ 上单调递增；

(2)、设 $h (x) = f [g (x)]$ ，
①当 $a = 1$ 时，求 $h (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上的最小值；
②若对任意实数 $r, s, t \in [- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}], |h (r) - h (s)| < h (t)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = m^{x}$ （ $m > 0$ 且 $m \neq 1$ ）的图象过点 $(3, 8), g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - k$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、当 $k = 1$ 时，求关于 $x$ 的不等式 $2 f (x) > g (x)$ 的解集；

(3)、记 $f (x), g (x)$ 在区间 $[1, 2)$ 上的值域分别为集合 $A, B$ ，若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的必要条件，求实数 $k$ 的取值范围.

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3、如图，以 $O x$ 为始边作角 $α$ 与 $β (0 < β < \frac{π}{2} < α < π)$ ，它们的终边分别与单位圆相交于点 $P, Q$ ，已知点 $Q$ 的坐标为 $(x, \frac{\sqrt{5}}{5})$ .

(1)、求 $\frac{2 \cos (\frac{3 π}{2} + β) - 5 \cos (π - β)}{- 3 \sin (3 π + β) - 2 \sin (\frac{π}{2} + β)}$ 的值；

(2)、若 $O P ⊥ O Q$ ，求 $P$ 的坐标.

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4、已知集合 $A = \{x |1 < x < 3\}, B = \{x |a < x < 3 a - 2\}$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $A \cup B, (∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求 $a$ 的取值范围.

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5、已知函数 $y = f (x)$ 的图像关于坐标原点中心对称的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，将其推广：函数 $y = f (x)$ 的图像关于点 $P (a, b)$ 中心对称的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数．根据以上结论回答下面的问题：已知函数 $f (x) = x^{3} - \frac{2}{e^{x} + 1}$ ，则函数 $f (x)$ 的图像的对称中心为；关于 $x$ 的不等式 $f (x) + f$ $(2 x - 1) > - 2$ 的解集为．

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6、南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖佛华妆，窈窕登高台”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴．如图所示，展开的折扇可看作是从一个扇形，某艺术节展示活动中，小李同学打算利用一条2米长的紫色丝带围成一个扇形展示框，则该展示框的面积最大值为．

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7、函数 $y = \ln (x^{2} - 2 + a)$ 的图象过 $(0, 0)$ ，则 $a =$ .

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8、对于给定的实数 $a$ ，关于实数 $x$ 的一元二次不等式 $a (x - a) (x + 1) > 0 (a \neq 0)$ 的解集可能为（）

A、 $\emptyset$ B、 ${x | - 1 < x < a}$ C、 ${x | a < x < - 1}$ D、 ${x | x < - 1 或 x > a}$

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} |\log_{3} x|, x > 0, \\ 3^{x}, x \leq 0, \end{cases}$ 若函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - 2 (m + 2) f (x) + 4 m$ 恰有5个零点，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1]$ B、 $(0, \frac{3}{2}]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(\frac{3}{2}, + \infty)$

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10、若 $x >0$ ， $y >0$ ， $4 x + y = x y$ ，且不等式 $x + \frac{y}{4} < a^{2} −3 a$ 有解，则实数a的取值范围为（）

A、 $a >4$ 或 $a <−1$ B、 $a <−4$ 或 $a >1$ C、 $a >4$ D、 $a <−1$

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11、已知函数 $f (x) = 2 - |x|, g (x) = x^{2}$ ，设函数 $L (x) = \{\begin{matrix} f (x), f (x) \leq g (x) \\ g (x), f (x) > g (x) \end{matrix}$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $L (x)$ 是偶函数 B、函数 $L (x)$ 有两个零点 C、 $L (x)$ 在区间 $(- 1, 0)$ 上单调递减 D、 $L (x)$ 有最大值，没有最小值

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12、已知点 $P (\cos (3 π + 2), \sin (8 π - 2))$ ，则点 $P$ 在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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13、函数 $f (x) = 3 x^{2} - 6 x - 5$ 在 $(2 m, m + 1)$ 上既没有最大值也没有最小值，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0] \cup [\frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0] \cup [\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, 1)$

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14、 $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 是 $\sin x = \frac{1}{2}$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、 $\lg 25 + \lg 4 + {(\frac{8}{27})}^{\frac{2}{3}} =$ （）

A、 $\frac{22}{9}$ B、 $\frac{18}{9}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{4}{9}$

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16、函数 $f (x) = a^{x} - \log_{a} x (0 < a < 1)$ 是定义域上的增函数，则实数 $a$ 的取值范围为.

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17、已知 $x$ 和 $y$ 之间的一组数据如右表； $y$ 与 $x$ 线性相关，且回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 0.25$ ， $m$ 为 $x$ 的方差的0.6倍，则当 $x = 8$ 时， $\hat{y} =$ .
$x$
0
1
2
3
$y$
$m$
$m + 2$
5
$2 m + 3$

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18、直线 $y = (\cos θ) x + \sin θ$ ， $θ \in R$ 的倾斜角的取值范围为.

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19、设复数 $z$ 满足 $(2 - i) z = 2 i$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $- \frac{2}{5} + \frac{4}{5} i$ B、 $- \frac{2}{5} - \frac{4}{5} i$ C、 $\frac{2}{5} + \frac{4}{5} i$ D、 $- \frac{4}{5} - \frac{2}{5} i$

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20、已知国内某人工智能机器人制造厂在 $2023$ 年机器人产量为 $300$ 万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高 $20 %$ ，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到 $900$ 万台（参考数据： $\lg 2 \approx 0.30$ ， $\lg 3 \approx 0.48$ ）（）

A、 $2029$ 年 B、 $2030$ 年 C、 $2031$ 年 D、 $2032$ 年

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$x$	0	1	2	3
$y$	$m$	$m + 2$	5	$2 m + 3$