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相关试卷

1、函数 $f (x) = \{\begin{cases} x + 2, x \leq 0 \\ 3 x + 1, x > 0 \end{cases}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ ．

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2、已知倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 交于 $A, B$ 两点， $P$ 为 $A B$ 中点， $O$ 为坐标原点，则直线 $O P$ 的斜率为（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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3、已知集合 $M = \{θ_{1}, θ_{2}, \cdot \cdot \cdot, θ_{n}\}$ ， $n \in N^{*}$ ，设函数 $f_{n} (x) = \sin^{2} (x - θ_{1}) + \sin^{2} (x - θ_{2}) + \cdot \cdot \cdot +$ $\sin^{2} (x - θ_{n})$ .

(1)、当 $M = \{0, \frac{π}{2}\}$ 和 $\{\frac{π}{4}, \frac{π}{2}\}$ 时，分别判断函数 $f_{2} (x)$ 是否是常数函数？说明理由；

(2)、已知 $M \subseteq \{θ | θ = \frac{kπ}{12} ， k \in N ， k \leq 12\}$ ，求函数 $f_{3} (x)$ 是常数函数的概率；

(3)、写出函数 $f_{n} (x) (n \geq 2)$ 是常数函数的一个充分条件，并说明理由.

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4、已知函数 $f (x) = a x - \ln x - \frac{1}{a}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有极小值，且极小值小于0，求 $a$ 的取值范围．

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5、“ $x > 2$ ”是“ $x^{2} > 2 x$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、 $i$ 是虚数单位，复数 $\frac{2}{3 - i}$ 的虚部为.

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ．定义：若存在 $k \in Z$ ，使得对任意的 $n \in N^{*}$ ， $a_{n + 1} - T_{n} = k$ 恒成立，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $k$ 数列”．

(1)、若 $a_{1} = 1$ ，且 $\{a_{n}\}$ 为“2数列”，求 $a_{5}$ ．

(2)、若 $a_{1} = 2$ ，且 $\{a_{n}\}$ 为“ $k$ 数列”， $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项的平方和为 $G_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是各项均为正数的等比数列，满足 $b_{n} = 2^{G_{n} - T_{n}}$ ，求 $k$ 的值和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式．

(3)、若 $a_{1} > 1$ ， $k > 0$ ，且 $\{a_{n}\}$ 为“ $k$ 数列”， $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} > ln T_{n} + n$ ．

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8、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x, g (x) = ln (x + 2) - a$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、证明： $f^{'} (x) > g (x)$ 恒成立；

(3)、证明： $ln 2 + {(ln \frac{3}{2})}^{2} + {(ln \frac{4}{3})}^{3} + \cdot \cdot \cdot + {(ln \frac{n + 1}{n})}^{n} < \frac{e}{e - 1}$ .

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9、（1）已知 $α$ ， $β$ 都是锐角， $\sin α = \frac{4}{5}$ ， $\cos (α + β) = \frac{5}{13}$ ，求 $\sin β$ 的值.
（2）已知 $\frac{\tan α}{\tan (α + \frac{π}{4})} = - \frac{2}{3}$ ，若 $α$ 在第三象限，求 $\sin (2 α + \frac{π}{4})$ 的值.

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10、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{7} = 28$ ， $a_{1} + a_{4} = 5$ ，若 $4 a_{n} + a_{m} = a_{17}$ $(m, n \in N^{*})$ ，则 $n^{2} + m^{2}$ 的最小值为.

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11、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{5} = 12$ ， $S_{7} = 63$ ，设 $b_{n} = \frac{\sin 3}{\cos a_{n} \cos a_{n + 1}}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为.

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12、函数 $f (x) = \frac{1}{2} x - \sin x$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值为.

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13、已知 $0 < x < y < π ， e^{y} sin x ＝ e^{x} sin y$ ，则（）

A、 $sin x < sin y$ B、 $cos x > - cos y$ C、 $sin x > cos y$ D、 $cos x > sin y$

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14、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为R，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ，若 $f (3 - x)$ ， $g (\frac{5}{2} - 2 x)$ 均为奇函数，则（）

A、 $f (3) = 0$ B、 $g (3) = 0$ C、 $f (\frac{5}{2}) = f (\frac{7}{2})$ D、 $g (5) = - g (8)$

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15、下列关于向量的说法错误的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ B、若单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角为 $\frac{π}{6}$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{b}$ C、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线，且 $s \vec{a} + t \vec{b} = \vec{0}$ ，则 $s = t = 0$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ 且 $\vec{c} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$

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16、已知直线 $l : k x - y + 1 - k = 0$ 和圆 $⊙ O : x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，则“ $r = \sqrt{2}$ ”是“存在唯一k使得直线l与 $⊙ O$ 相切”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前n项和分别为 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{3 n + 4}{n + 2}$ ，则 $\frac{a_{3} + a_{8}}{b_{2} + b_{9}} =$ （）

A、 $\frac{17}{13}$ B、 $\frac{37}{13}$ C、 $\frac{37}{6}$ D、 $\frac{17}{6}$

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18、下列函数在 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = \sin 2 x$ B、 $f (x) = x e^{x}$ C、 $f (x) = x^{3} - x$ D、 $f (x) = - x + \ln x$

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19、已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $b = (cos α, sin α)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\frac{\sin α - 2 \cos α}{2 \sin α + \cos α}$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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20、已知函数 $f (x) = 3^{x} - 2 f^{'} (1) ln x$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $ln 3$ B、2 C、3 D、 $3 ln 3$

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