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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x - a ln x$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $x - a ln x = 0$ 有两个不相等的实数根，记较小的实数根为 $x_{0}$ ，求证： $(a - 1) x_{0} > a$ ．

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2、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 是菱形且与底面 $A B C D$ 垂直， $M$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $N$ 是线段 $B D$ 上一点，且 $B D = 4 B N$ ， $M N ⊥ B D$ ， $A_{1} B = \sqrt{3} A B = A D = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、证明：侧面 $B_{1} C_{1} C B$ 是矩形；

(2)、求直线 $C C_{1}$ 与平面 $A_{1} M N$ 所成角的正弦值.

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3、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a cos B + b cos C = c$ ．

(1)、求证： $△ A B C$ 是等腰三角形．

(2)、若 $A = 30 °$ ， $△ A B C$ 的周长为 $2 + \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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4、已知 $\tan (x + \frac{π}{7}) = - \frac{\sqrt{2}}{4}$ ， $x$ 为第二象限角，则 $\sin (x + \frac{10 π}{21}) =$ .

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5、已知王明在射箭游戏中射一箭中靶的概率为 $\frac{2}{3}$ ，若每箭是否中靶相互独立，则王明射3箭恰好有2箭中靶的概率为．

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6、设 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n} (a_{1} \leq a_{2} \leq \cdot \cdot \cdot \leq a_{n})$ 、 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， …， $b_{n} (b_{1} \leq b_{2} \leq \cdot \cdot \cdot \leq b_{n})$ 为两组正实数， $c_{1}$ ， $c_{2}$ ， …， $c_{n}$ 是 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， …， $b_{n}$ 的任一排列，我们称 $S = a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + a_{3} c_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} c_{n}$ 为这两组正实数的乱序和， $S_{1} = a_{1} b_{n} + a_{2} b_{n - 1} + a_{3} b_{n - 2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} b_{1}$ 为这两组正实数的反序和， $S_{2} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} b_{n}$ 为这两组正实数的顺序和.根据排序原理有 $S_{1} \leq S \leq S_{2}$ ，即反序和≤乱序和≤顺序和.则下列说法正确的是（）

A、数组 $(1, 2, 3, 4)$ 和 $(1, 3, 5, 7)$ 的反序和为30 B、若 $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n}^{2}$ ， $B = x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + \cdot \cdot \cdot + x_{n - 1} x_{n} + x_{n} x_{1}$ ，其中 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n} (x_{1} \leq x_{2} \leq \cdot \cdot \cdot \leq x_{n})$ 都是正实数，则 $A \leq B$ C、设正实数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的任一排列为 $c_{1}$ ， $c_{2}$ ， $c_{3}$ ，则 $\frac{a_{1}}{c_{1}} + \frac{a_{2}}{c_{2}} + \frac{a_{3}}{c_{3}}$ 的最小值为3 D、已知正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ 满足 $x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n} = P$ ， P为定值，则 $F = \frac{x_{1}^{2}}{x_{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{x_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{x_{n - 1}^{2}}{x_{n}} + \frac{x_{n}^{2}}{x_{1}}$ 的最小值为 $\frac{P}{2}$

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7、已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上有异于原点的 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点， $F$ 为抛物线的焦点，以 $A, B$ 为切点的抛物线的切线分别记为 $P A$ ， $P B$ ，则（）

A、若 $x_{1} x_{2} = \frac{p^{2}}{4}$ ，则 $A, F, B$ 三点共线 B、若 $y_{1} y_{2} = - p^{2}$ ，则 $A, F, B$ 三点共线 C、若 $∠ A P B = \frac{π}{2}$ ，则 $A, F, B$ 三点共线 D、若 $\frac{1}{|F A|} + \frac{1}{|F B|} = \frac{2}{p}$ ，则 $A, F, B$ 三点共线

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8、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个非零向量，下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2}$ D、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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9、已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = 2 A B = 4 P A = 4$ ，点M，N分别为线段AD，CD上一点，E为BC的中点，当 $P M + M N + E N$ 取得最小值时，三棱锥 $P - E M N$ 的体积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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10、已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{3} + a$ 与 $g (x) = \frac{b x^{2}}{x^{2} - 2 x + 2} (b \neq 0)$ 的图象依次交于A，B，C三点，且恒有 $|A B| = |B C|$ ，则 $\frac{a}{b} =$ （）

A、2 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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11、陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，在我国有四五千年的历史，是青少年们十分熟悉的玩具如图所示的陀螺可近似看作一个圆锥与一个圆柱的组合体，圆柱和圆锥的底面半径均为6cm，高均为9cm，若该陀螺是由一个球形材料前去多余部分制成，则该球形材料的表面积的最小值为（）

A、 $52 {πcm}^{2}$ B、 $\frac{640 π}{3} {cm}^{2}$ C、 $\frac{4000 π}{3} {cm}^{2}$ D、 $400 {πcm}^{2}$

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12、已知某种零件的尺寸（单位： $mm$ ）在 $[83.8, 86.2]$ 内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸 $X$ 服从正态分布 $N (85, σ^{2})$ ，且 $P (X < 83.8) = 0.1$ ，则估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为（）

A、1600 B、1400 C、800 D、20

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13、已知 ${(x + \frac{1}{2 x^{2}})}^{n}$ 的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为（）

A、 $\frac{21}{2}$ B、 $\frac{63}{16}$ C、 $\frac{21}{16}$ D、 $\frac{9}{32}$

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14、若复数 $z = (2 + i) (1 + a i)$ 为纯虚数 $(a \in R)$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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15、已知集合 $A = \{a, a^{2}\}$ ， $B = \{1, 4\}$ ，若 $1 \in A$ ，则 $A \cup B$ 中所有元素之和为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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16、如图，点 $P$ 是棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上一个动点， $F$ 是线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则（）

A、若点 $P$ 满足 $A P ⊥ B_{1} C$ ，则动点 $P$ 的轨迹长度为 $6 \sqrt{2}$ B、当直线 $A P$ 与 $A B$ 所成的角为 $45^{\circ}$ 时，点 $P$ 的轨迹长度为 $\frac{3}{2} π + 6 \sqrt{2}$ C、三棱锥 $A - P B_{1} D_{1}$ 体积的最大值为 $\frac{8}{3}$ D、当 $P$ 在底面 $A B C D$ 上运动，且满足 $P F$ $∥$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 时，线段 $P F$ 长度最大值为 $3 \sqrt{2}$

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17、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，我们可以采用公式 $\{\begin{array}{l} x^{'} = a x + b y + c, \\ y^{'} = m x + n y + p \end{array}$ （其中 $a, b, c, m, n, p$ 为常数），将点 $P (x, y)$ 变换成点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ ，我们称该变换为线性变换，上式为坐标变换公式．常见的线性变换有平移变换和旋转变换．

(1)、将点 $P (x, y)$ 向左平移 $1$ 个单位，再向上平移 $2$ 个单位，得到点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ ，求该变换的坐标变换公式，并求将椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 向左平移 $1$ 个单位，再向上平移 $2$ 个单位后，所得新椭圆的方程；

(2)、将点 $P (x, y)$ 绕原点逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ 后，得到点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ ，求上述变换的坐标变换公式，并求将椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 绕原点逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ 后，所得新椭圆的方程；

(3)、若点 $P (x, y)$ 满足 $x^{2} + x y + y^{2} + 2 x + y - 2 = 0$ ，证明：点 $P (x, y)$ 的轨迹是椭圆．

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18、在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，点 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，直线 $A M$ ， $B M$ 相交于点 $M$ ，且它们的斜率之积是 $- \frac{1}{4}$ ．记点 $M$ 的轨迹是曲线 $C$ ，点 $D (x_{0}, y_{0}) (y_{0} > 0)$ 是曲线 $C$ 上的一点．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $x_{0} = 1$ ，直线l过点 $D$ 与曲线 $C$ 的另一个交点为 $E$ ，求 $△ O D E$ 面积的最大值；

(3)、过点 $F (\sqrt{3}, 0)$ 作直线交曲线 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $O D ⊥ P Q$ ，证明： $\frac{1}{| P Q |} + \frac{1}{| O D |^{2}}$ 为定值．

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19、如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是正三角形，四边形ABCD为等腰梯形，且有 $A D = 2 B C = 2 A B = 2 C D = P B = P C$ ， E，F分别是AD，BC的中点，动点Q在PF上．

(1)、证明：平面 $P E F ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、当 $E Q ⊥ P F$ 时，求平面QAB与平面QCD所成角的余弦值．

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20、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，记 $△ A B C$ 的面积为S，已知 $A + B = 2 C$ ．

(1)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的半径；

(2)、求 $\frac{S}{(a + b + c) (a + b - c)}$ 的值．

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