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相关试卷

1、如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知 $A B / / C D, A D ⊥ C D$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} C D$ ．

(1)、求证： $C D ⊥ E D$ ；

(2)、求平面BDF与平面CDE夹角的余弦值；

(3)、线段上EC上是否存在点 $M$ ，使平面 $M D F ⊥$ 平面BDF？若存在，求出 $\frac{E M}{E C}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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2、某公司招聘销售员，提供了两种日工资结算方案：方案（1）每日底薪100元，每销售一单提成2元；方案（2）每日底薪200元，销售的前50单没有提成，从第51单开始，每完成一单提成4元．该公司记录了销售员的每日人均业务量，现随机抽取一个季度的数据，将样本数据分为 $[25, 35) 、 [35, 45) 、 [45, 55) 、 [55, 65) 、 [65, 75) 、 [75, 85) 、 [85, 95]$ 七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求直方图中 $a$ 的值；

(2)、若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘销售员做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；

(3)、假设该销售员选择了你在（2）中所选的方案，已知公司现有销售员400人，他希望自己的收入在公司中处于前40名，求他每日的平均业务量至少应达多少单？

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3、如图所示，椭圆的中心在原点，焦点 $F_{1}, F_{2}$ 在 $x$ 轴上， $A, B$ 是椭圆的顶点， $P$ 是椭圆上一点，且 $P F_{1} ⊥ x$ 轴， $P F_{2} / / A B$ ，则此椭圆的离心率是．

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{k^{2}} = 1 (0 < k < \frac{5}{2})$ 的两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的动点，点 $Q$ 是圆 $E : {(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 2$ 上任意一点．若 $| P Q | + |P F_{2}|$ 的最小值为 $4 - \sqrt{2}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}|$ 的最小值为5 B、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最大值为5 C、存在点 $P$ 使得 $∠ F_{1} P F_{2} = 90^{°}$ D、 $| P Q | - |P F_{2}|$ 的最小值为 $3 \sqrt{2} - 6$

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5、下列说法错误的是（）

A、直线 $l : m x + y + 2 - m = 0$ 恒过定点 $(1, - 2)$ B、经过点 $P (2, 1)$ ，且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为 $x - y - 1 = 0$ C、直线 $l$ 过点 $P (1, 0)$ ，且与以 $A (2, 1), B (0, \sqrt{3})$ 为端点的线段有公共点，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围是 $- \sqrt{3} \leq k \leq 1$ D、已知直线 $l_{1}$ 过点 $A (3, a), B (a - 2, 3)$ ，直线 $l_{2}$ 过点 $C (2, 3), D (- 1, a - 2)$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = 0$ ．

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6、已知实数 $x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}$ 满足， $x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = 1, x_{2}^{2} + y_{2}^{2} = 1, x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ ，则 $|x_{1} + y_{1} - 3| + |x_{2} + y_{2} - 3|$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $4 \sqrt{2}$ D、8

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7、若圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上恰有三个点到直线 $l : y = 2 x + m$ 的距离等于1，则 $m$ 的值为（）

A、 $\pm 2 \sqrt{5}$ B、 $\pm \sqrt{5}$ C、 $\pm 3 \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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8、若方程 $\frac{x^{2}}{2 - m} + \frac{y^{2}}{3 + m} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $- 3 < m < - \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2} < m < 2$ C、 $m < - 3$ D、 $m > 2$

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9、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是棱 $D C$ 的中点，则异面直线 $B M$ 与 $A_{1} C$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{210}}{15}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{15}$ C、 $\frac{\sqrt{65}}{65}$ D、 $\frac{8}{65} \sqrt{65}$

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10、直线方程 $2 x - y + m = 0$ 的一个方向向量 $\vec{d}$ 可以是（）

A、 $(2, - 1)$ B、 $(2, 1)$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $(1, 2)$

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11、高二6班和高二7班进行班级篮球赛，采用3场2胜制，已知6班实力强劲，其每场获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，则最终7班能够逆袭成功的概率是（）

A、 $\frac{8}{27}$ B、 $\frac{4}{27}$ C、 $\frac{20}{27}$ D、 $\frac{7}{27}$

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12、2024年，中国大陆居民的幸福感指数高达 $79 %$ ，持续领跑全球，幸福感指数常用区间[0，100]内的一个数来表示，数字越接近100表示满意度越高．现随机抽取10位学生，他们的幸福感指数为73，74，75，75，76，76，77，78，79，80．则这组数据的 $70 %$ 分位数是（）

A、77.5 B、77 C、78 D、76.5

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13、直线 $x = 1$ 的倾斜角是（）

A、 $0^{°}$ B、不存在 C、 $90^{°}$ D、 $180^{°}$

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14、已知函数 $f (x + 1)$ 的定义域为 $[1, 5]$ ，则 $f (x - 1)$ 的定义域为（）

A、 $[- 1, 3]$ B、 $[0, 4]$ C、 $[1, 5]$ D、 $[3, 7]$

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15、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \cos^{2} x - \sin 2 x - \sqrt{3} \sin^{2} x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (x_{0}) = \frac{6}{5}$ ， $x_{0} \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $\cos 2 x_{0}$ 的值.

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16、为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，长春市一乡镇响应号召，努力打造“生态水果特色小镇”，调研发现：某生态水果的单株产量 $W$ （单位： $kg$ ）与单株肥料费用 $x$ （单位：元）满足如下关系： $W (x) = \{\begin{array}{l} 5 (x^{2} + 2.4), 0 \leq x \leq 2 \\ 48 - \frac{48}{x + 1}, 2 < x \leq 5 \end{array}$ ，单株总成本投入为 $30 x$ （单位：元）．已知这种水果的市场售价为 $10$ 元 $/ kg$ ，且供不应求，记该生态水果的单株利润为 $f (x)$ （单位：元）．

(1)、求 $f (x)$ 的函数解析式；

(2)、当投入的单株肥料费用为多少元时，该生态水果的单株利润最大？最大利润是多少元？

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17、已知函数 $f (x) = 1 - \frac{a \cdot 5^{x}}{5^{x} + 1}, x \in (b - 3, 2 b)$ 是奇函数，

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 是区间 $(b - 3, 2 b)$ 上的减函数且 $f (m - 1) + f (2 m + 1) > 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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18、已知 $α$ 角的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (- 4, 3)$ .

(1)、求 $sin α, cos α, tan α$ ；

(2)、求 $f (α) = \frac{\cos (\frac{π}{2} + α) + 2 \cos α}{\sin (π - α) + 2 \cos α}$ 的值.

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19、已知函数 $f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{6})$ ， $g (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{6})$ . 若对于任意 $x_{1} \in [0, \frac{π}{2}]$ ，总存在唯一的 $x_{2} \in [0, \frac{π}{2}]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2}) + 2$ ，则 $ω$ 的取值范围为.

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20、计算 ${(\frac{1}{64})}^{- \frac{2}{3}} + \lg 25 + \lg 4 + 7^{\log_{7} 2}$ =.

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