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相关试卷

1、函数 $f (x) = lg (4 x - x^{2})$ 的单调递减区间是．

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2、已知圆锥的侧面展开图是圆心角为 $\frac{π}{2}$ 且弧长为 $2 π$ 的扇形，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{4}{3} π$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{3} π$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{3} π$

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3、某乡镇为了打造“网红”城镇发展经济，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系： $W (x) = \{\begin{array}{l} 5 (x^{2} + 3), 0 \leq x \leq 2 \\ \frac{50 x}{1 + x}, 2 < x \leq 5 \end{array}$ ，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为 $f (x)$ （单位：元）

(1)、写单株利润 $f (x)$ （元）关于施用肥料x（千克）的关系式；

(2)、当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少?

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4、已知幂函数 $f (x) = x^{m^{2} + 2 m - 3} (m \in Z)$ 是偶函数，且 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上是增函数，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、3

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5、已知有限集 $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\} (n \geq 2, n \in N)$ ，如果 $A$ 中的元素 $a_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 满足 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = a_{1} \times a_{2} \times \dots \times a_{n}$ ，就称 $A$ 为“完美集”.

(1)、判断：集合 $\{- 1 - \sqrt{3}, - 1 + \sqrt{3}\}$ 是否是“完美集”并说明理由；

(2)、 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 是两个不同的正数，且 $\{a_{1}, a_{2}\}$ 是“完美集”，求证： $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 至少有一个大于 $2$ ；

(3)、若 $a_{i}$ 为正整数，求：“完美集” $A$

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6、设函数 $f (x) = a x^{2} + (1 - a) x + a - 2 (a \in R)$ .

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集为 $[0, \frac{1}{2}]$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若不等式 $f (x) \geq - 2$ 对于实数 $a \in [- 1, 1]$ 时恒成立，求 $x$ 的取值范围；

(3)、解关于 $x$ 的不等式： $f (x) < a - 1$ .

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7、设 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 是两个等差数列，记 $c_{n} = \max {b_{1} - a_{1} n, b_{2} - a_{2} n, \cdot \cdot \cdot, b_{n} - a_{n} n}$ $(n = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot)$ ，
其中 $\max {x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{s}}$ 表示 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{s}$ 这 $s$ 个数中最大的数．
（Ⅰ）若 $a_{n} = n$ ， $b_{n} = 2 n - 1$ ，求 $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ 的值，并证明 ${c_{n}}$ 是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数 $M$ ，存在正整数 $m$ ，当 $n \geq m$ 时， $\frac{c_{n}}{n} > M$ ；或者存在正整数 $m$ ，使得 $c_{m}, c_{m + 1}, c_{m + 2}, \cdot \cdot \cdot$ 是等差数列．

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8、如图所示，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 的中点，将 $△ A E F$ 沿 $E F$ 翻折到 $△ D E F$ 位置.

(1)、证明： $平面 B C D ⊥ 平面 B D E$ ；

(2)、若 $D B = E B$ ，求平面DEF与平面DEC夹角的余弦值.

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，左顶点为 $A$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，且经过点 $(1, \frac{3}{2})$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ （不与 $x$ 轴重合）与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，直线 $A P, A Q$ 与直线 $x = 4$ 的交点分别为 $M, N$ ，记直线 $M F, N F$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值．

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = 6$ ，且 $a_{n} = a_{n - 1} + λ n (n \geq 2)$ ．则数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前n项_和为

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11、在 ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为．

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12、已知方程 $\sqrt{1 + \cos x} + \sqrt{1 - \cos x} = \sqrt{k}$ 的正根构成等差数列，则 $k =$ （）

A、 $2 + \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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13、若表示集合 $M$ 和 $N$ 关系的 $Venn$ 图如图所示，则 $M, N$ 可能是（）

A、 $M = {0, 2, 4, 6}, N = \{4\}$ B、 $M = {x | x^{2} < 1}, N = {x | x > 1}$ C、 $M = {x | y = lg (x - 2)}$ ， $N = \{y |y = e^{x} + \frac{1}{e^{x}}\}$ D、 $M = {(x, y) | x^{2} = y^{2}}, N ＝ {(x, y) | y = x}$

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14、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $c = 2, \frac{1}{tan A} + \frac{1}{tan B} + \frac{1}{tan A tan B} = 1$ ．则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、 $1 + \sqrt{2}$ B、 $1 + \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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15、已知点 $A (- 1, 1)$ ， $B (1, - 1)$ ， $C (3, 3)$ .动点 $P$ 满足 $| P A |^{2} + | P B |^{2} + | P C |^{2} = 70$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最大值为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2} - 1$ C、30 D、31

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16、已知双曲线的两个焦点分别为 $(0, 4), (0, - 4)$ ，点 $(- 6, 4)$ 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）

A、4 B、3 C、2 D、 $\sqrt{2}$

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17、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，椭圆 $C_{2}$ 与椭圆 $C_{1}$ 具有相同的离心率，且经过点 $(2, 2)$ ．

(1)、求 $C_{2}$ 的标准方程；

(2)、若 $C_{2}$ 的焦点在x轴上， $P (x_{0}, y_{0})$ 为 $C_{2}$ 上一点，A、B两点在 $C_{1}$ 上，且线段PA、PB的中点都在 $C_{1}$ 上．
（i）当点P运动时， $△ P A B$ 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说理由；
（ii）记 $θ = ∠ A P B$ ，求 $\tan θ$ 的取值范围．

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18、解下列不等式

(1)、 $x (x + 2) > x (3 - x) + 1$ ；

(2)、 $- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - 5 > 0$ ；

(3)、 $\frac{x + 2}{3 x - 1} \geq 1$ .

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19、受亚洲飞人苏炳添勇夺东京奥运百米决赛第四并破亚洲记录的影响，甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分别为 $T_{1}$ ， $T_{2}$ ， $T_{3}$ .甲有一半的时间以速度 $V_{1}$ 米/秒奔跑，另一半的时间以速度 $V_{2}$ 米/秒奔跑；乙全程以速度 $\sqrt{V_{1} V_{2}}$ 米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度 $V_{1}$ 米/秒奔跑，另一半的路程以速度 $V_{2}$ 米/秒奔跑.其中 $V_{1} > 0$ ， $V_{2} > 0$ .则下列结论中一定成立的是（）

A、 $T_{1} \leq T_{2} \leq T_{3}$ B、 $T_{1} \geq T_{2} \geq T_{3}$ C、 $T_{1} T_{3} = T_{2}^{2}$ D、 $\frac{1}{T_{1}} + \frac{1}{T_{3}} = \frac{2}{T_{2}}$

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} + n - 3$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \{\begin{array}{l} k, n = a_{k} - 1 \\ b_{n - 1} + 2 k, a_{k} - 1 < n < a_{k + 1} - 1 \end{array}$ ， $k \in N^{*}$
（i）当 $k \geq 2$ ， $n = a_{k + 1} - 1$ 时，求证： $b_{n - 1} \geq (a_{k} - 1) \cdot b_{n}$ ；
（ii）求 $\sum_{i = 1}^{S_{n} - n} b_{i}$ .

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