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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，点D为边BC上一点，且 $B D : D C = 1 : 2$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，试用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A D} =$ （）．

A、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

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2、已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (2, k)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数 $k =$ （）

A、1 B、2 C、 $- 4$ D、4

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3、若集合 $A = \{x |x < 4\}, B = \{x |\frac{1}{x} \geq 1\}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(0, 1]$ C、 $(- \infty, 0) \cup (0, 1]$ D、 $(- \infty, 0] \cup (1, 4)$

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4、在平面直角坐标系中，若点 $P (x, y)$ 的横、纵坐标均为整数，则称 $P (x, y)$ 为格点，若曲线 $Γ$ 上存在3个格点构成三角形，则称 $Γ$ 为“3格曲线”.

(1)、若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (1 < b < 2)$ 为“3格曲线”，求 $C$ 的离心率；

(2)、若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ 上存在 $n (n \geq 4)$ 个格点，且从中任取3个格点构成三角形，设该三角形的一个顶点为 $C$ 的左顶点的概率为 $P (n)$ ，求 $P (n)$ ；

(3)、若直线 $l : y = x + 2$ 上存在2个格点 $M, N$ ，使得 $|M K| + |N K| = 2$ ，其中 $K$ 为曲线 $D$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 与 $y$ 轴正半轴的交点，求 $b$ 的值.

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5、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $S A D, A D ⊥ S D, A B = 1, B C = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, A D = S D = \sqrt{3}, ∠ B C D = 60^{\circ}$ .

(1)、证明： $B C ⊥ B S$ .

(2)、求平面 $S B C$ 与平面 $S C D$ 夹角（锐角）的余弦值.

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6、围棋源于中国，是中国传统文化中的瑰宝，下围棋可陶冶情操.某中学坚持开展围棋活动，以提高学生的思维能力，其围棋社的成员中有 $60$ 名男生， $50$ 名女生.为了解围棋社成员是否利用 $AI$ 学棋的情况，现采用按性别比例分配的分层抽样方法抽取 $11$ 名成员调查分析.

(1)、求男生和女生各抽取多少人.

(2)、在抽取的 $11$ 人中，有 $2$ 名女生明确利用 $AI$ 学棋，现在从剩下的 $9$ 名成员中再依次随机抽取 $3$ 次，每次抽取 $1$ 人.
①在第一次抽到女生的条件下，求第二次抽到男生的概率；
②设抽到的女生人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望.

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7、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = \frac{4 \sqrt{5}}{5} a b sin C$ .

(1)、求 $cos C$ 的值；

(2)、若 $c = 5, △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{5}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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8、设 $b_{i} > 0 (i = 1, 2, \dots, n)$ ，则称 $\sqrt[n]{b_{1} b_{2} \dots b_{n}}$ 为 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ 这 $n$ 个数的几何平均数.若从等比数列 $1, 2, 2^{2}, \dots, 2^{n}$ 中删除一个数 $2^{m} (1 \leq m \leq n - 1, m \in N^{*})$ ，剩下的 $n$ 个数的几何平均值为 $2^{35}$ ，则等比数列 $1, 2, 2^{2}, \dots, 2^{n}$ 的各项之和为.

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9、已知 $F$ 是抛物线 $C : x^{2} = - 2 p y (p > 0)$ 的焦点， $P (100, - 50)$ 是 $C$ 上一点，则 $|P F| =$ .

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10、已知向量 $\vec{a} = (4, 3), |\vec{b}| = 2$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ .

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11、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $\forall x, y \in R, f (x) f (y) = f (x y) + x^{2} y^{2} (x^{2} + y^{2})$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (\sqrt{2}) = - 3$ C、 $f (x + \frac{1}{x}) > f (2 sin x)$ D、函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x^{2}}$ 的值域为 $[1, + \infty)$

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12、已知圆 $M : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ 与圆 $N : {(x + m)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = m^{2}$ 相切，则 $m$ 的取值可以为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、3 D、4

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13、如图，在四面体 $P A B C$ 中， $D, E$ 分别为 $P C, A B$ 的中点，且 $A C ⊥ B C, P C ⊥ D E, A B = 2$ ，则该四面体体积的最大值为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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14、将函数 $y = 2 sin (6 x - \frac{π}{10})$ 图象上的每个点的横坐标伸长为原来的 $3$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $y = f (x)$ 的图象，若函数 $y = f (k x) (k > 0)$ 在 $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{3})$ 上单调，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{9}{10}]$ B、 $(0, \frac{4}{5}]$ C、 $[\frac{9}{10}, + \infty)$ D、 $[\frac{4}{5}, + \infty)$

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15、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = {log}_{6} 3$ ，且 $6^{a_{n + 1}} \cdot {(\frac{1}{6})}^{a_{n}} = 2$ ，则 $a_{20} =$ （）

A、 $1 + 19 {log}_{6} 3$ B、 $1 + 19 {log}_{6} 2$ C、 $1 + 18 {log}_{6} 3$ D、 $1 + 18 {log}_{6} 2$

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16、已知角 $α, β$ 满足 $(2 - tan α) (2 + tan β) = 5$ ，则 $tan (α - β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、 $- 3$

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17、某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为（）

A、 $A_{4}^{4} A_{11}^{11}$ B、 $A_{11}^{11}$ C、 $A_{4}^{4} A_{10}^{10}$ D、 $A_{5}^{5} A_{10}^{10}$

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18、若函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 为偶函数，则 $f (x)$ 的解析式可以为（）

A、 $f (x) = cos x$ B、 $f (x) = x^{3} + x^{2}$ C、 $f (x) = x^{4} + \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = x^{3} + 2 x - 3$

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19、设集合 $A = \{x ∣ x^{3} > 4\}, B = {x \in Z ∣ - 4 < x < 7}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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20、双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的虚轴长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、2 C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{13}$

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