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相关试卷

1、一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.设第1，2，3次都摸到红球的概率为 $P_{1}$ ；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为 $P_{2}$ .求 $P_{1} + P_{2} =$ .

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2、为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是（）

A、从六门课程中选两门的不同选法共有20种 B、课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种 C、课程“礼”、“书”排在相邻两天的不同排法共有240种 D、课程“乐”、“射”、“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种

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3、某高校将4名学生分配到3所中学实习，每所中学至少分配 $1$ 名学生，则不同的分配方案共有（）

A、24种 B、36种 C、48种 D、72种

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4、列奥纳多 $\cdot$ 达 $\cdot$ 芬奇（Leonardo da Vinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一．他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式 $φ (x) = a \cosh \frac{x}{a}$ ，其中 $a$ 为悬链线系数， $\cosh x$ 称为双曲余弦函数，其函数表达式为 $\cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为 $\sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ．

(1)、证明： $\cosh^{2} x - \sinh^{2} x = 1$ ；

(2)、求不等式： $\sinh (2 x - 1) + \sinh (x - 2) < 0$ 的解集；

(3)、函数 $f (x) = 2 m \cosh (2 x) - 2 \sinh (x) - 3$ 的图象在区间 $[0, \ln 2]$ 上与 $x$ 轴有2个交点，求实数 $m$ 的取值范围．

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5、已知函数 $f (x)$ 为奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 1$ ，则 $f (- 2) =$ （）

A、 $- \frac{5}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $- 3$ D、3

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6、如图，一个底面半径为2dm，母线长为 $2 \sqrt{5} dm$ 的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的 $\frac{1}{2}$ ，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（）

A、 $\sqrt[3]{7} dm$ B、2dm C、3dm D、 $2 \sqrt[3]{7} dm$

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7、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a + b = 1$ ，则 ${log}_{2} a + {log}_{2} b \leq - 2$ B、若 $a + b = 1$ ，则 $\sqrt{a} + \sqrt{b} < 1$ C、若 $a - b = 1$ ，则 $2^{a} - \frac{1}{2^{b}} > 1$ D、若 $a - b = 1$ ，则 $a^{2} + b^{2} > 1$

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8、一年一度的“双11”促销活动落下帷幕，各大电商平台发布的数据显示，在消费品以旧换新、家电政府补贴等促消费政策和活动的带动下，消费市场潜能加速释放，带动相关商品销售保持增长. 经过调研，得到2019年到2024年“双11”活动当天某电商平台线上日销售额 $y$ （单位：百亿元）与年份（第 $x$ 年）的6组数据（时间变量 $x$ 的取值依次为 $1, 2, \cdot \cdot \cdot, 6$ ），对数据进行处理，得到如下散点图（图1）及一些统计量的值. 其中 $t_{i} = \ln x_{i}, \bar{t} = \frac{1}{6} \sum_{i = 1}^{6} t_{i}$ .
$\bar{y}$
$\bar{x}$
$\sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i}$
$\bar{t}$
$\sum_{i = 1}^{6} t_{i}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{n} t_{i} y_{i}$
48.7
3.5
91
1204
1.1
9.4
388.1
分别用两种模型：① $y = b x + a$ ；② $y = b \ln x + a$ 进行拟合，得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图（图2）（残差值 $=$ 真实值 $-$ 预测值）.

(1)、根据题中信息，通过残差图比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型进行拟合？请说明理由；

(2)、根据（1）中所选模型，
（i）求出 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程（系数精确到0.1）；
（ⅱ）若该电商平台每年活动当天线上日销售额 $y$ 与当日营销成本 $u$ 及年份 $x$ 存在线性关系： $y = 3 u + 2.6 x$ ，则在第几年活动当日营销成本的预测值最大?
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；参考数据： $\ln 7 \approx 1.95$ .

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9、已知 $cos (x - \frac{π}{10}) = - \frac{4}{5}$ ，则 $sin (2 x + \frac{3 π}{10}) =$ .

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10、微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下：
如果函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 可导，导数为 $f^{'} (x)$ ，那么在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $c$ ，使得 $f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ，其中 $c$ 叫做 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的“拉格朗日中值点”.已知函数 $f (x) = \frac{(a + 1) x^{2}}{4} \ln x + b^{2} (x - 4) e^{a x} - \frac{b^{2}}{6} x^{3} + (\frac{9 b + 15}{8}) x^{2}$ .

(1)、若 $a = - 1, b = 0$ ，求函数 $f (x)$ 在 $[1, 7]$ 上的“拉格朗日中值点” $x_{0}$ ；

(2)、若 $a = - 1, b = 1$ ，求证：函数 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 图象上任意两点 $A$ ， $B$ 连线的斜率不大于 $18 - e^{- 6}$ ；

(3)、若 $a = 1, b = - 1, \forall x_{1}, x_{2}, x_{3} \in (\frac{1}{4}, 1)$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，求证： $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > \frac{f (x_{3}) - f (x_{2})}{x_{3} - x_{2}}$ .

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11、非零向量 $\overset{⃑}{m}, \overset{⃑}{n}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且满足 $| \vec{n} |= λ| \vec{m} |(λ⟩ 0)$ ，向量组 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 由一个 $\overset{⃑}{m}$ 和两个 $\overset{⃑}{n}$ 排列而成，向量组 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 由两个 $\overset{⃑}{m}$ 和一个 $\overset{⃑}{n}$ 排列而成，若 $x_{1} \cdot y_{1} + x_{2} \cdot y_{2} + x_{3} \cdot y_{3}$ 所有可能值中的最小值为 $4 {\overset{⃑}{m}}^{2}$ ，则 $λ =$ ．

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12、已知幂函数 $f (x) = x^{- k^{2} + k + 2}, (k \in Z)$ 满足 $f (2) < f (3)$ ，若函数 $g (x) = 1 - q f (x) + (2 q - 1) x$ ，在区间 $[- 1, 2]$ 上是减函数，则非负实数 $q$ 的取值范围是．

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13、下列命题错误的是：（）

A、两平行直线 $5 x + 12 y + 3 = 0$ 与 $10 x + 24 y + 5 = 0$ 之间的距离是 $\frac{1}{26}$ B、若点 $A (- 2, - 3)$ ， $B (- 3, - 2)$ ，直线l过点 $P (1, 1)$ 且与线段 $A B$ 相交，则l的斜率k的取值范围是 $k \leq - \frac{4}{3}$ 或 $k \geq - \frac{3}{4}$ C、若点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ 外，则直线 $x_{0} x + y_{0} y = R^{2}$ 与圆相离 D、若 $3 a^{2} + 3 b^{2} - 4 c^{2} = 0$ ，则直线 $a x + b y + c = 0$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 所截得的弦长为1

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14、已知函数 $f (x) = x + e^{x}$ ， $g (x) = x e^{x}$ ，若 $f (m) = a$ ， $g (n) = e^{a}$ ，则 $a n e^{e^{m}}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、e C、 $- e$ D、 $- \frac{1}{e}$

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15、在等比数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{1} = 3$ ，其前n项和为 $S_{n} .$ 若数列 ${a_{n} + 3}$ 也是等比数列，则 $S_{n}$ 等于 $($ 　　 $)$

A、 $\frac{3^{n + 1} - 3}{2}$ B、3n C、 $2 n + 1$ D、 $3 \times 2^{n} - 3$

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16、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为2， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别为 $C C_{1} ､ B C ､ C D ､ B B_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $B_{1} G ⊥ E F$ B、 $A_{1} H / /$ 平面 $A E F$ C、二面角 $E - A F - C$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ D、点 $B_{1}$ 到平面 $A E F$ 的距离为2

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a = 1$ ， $\frac{a}{cos A} = \frac{2 b - c}{cos C}$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $D$ 是线段 $B C$ 的中点，且 $A D = 1$ ，求 $S_{△ A B C}$ ；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $△ A B C$ 的周长的取值范围．

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18、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为A，左、右两焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若 $△ A F_{1} F_{2}$ 为等边三角形，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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19、已知集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}\} (k \geq 2)$ ，其中 $a_{i}$ 为整数 $(i = 1, 2, \dots, k)$ ，由 $A$ 中元素可构成两个点集 $P$ 和 $Q : P = \{(x, y)| x \in A, y \in A, x + y \in A\}, Q = \{(x, y)| x \in A, y \in A, x - y \in A\}$ ，其中 $P$ 中有 $m$ 个元素， $Q$ 中有 $n$ 个元素．新定义1个性质 $G$ ：若对任意的 $x \in A$ ，必有 $- x \notin A$ ，则称集合 $A$ 具有性质 $G$ ．

(1)、已知集合 $S = \{0, 2, 4\}$ 与集合 $T = \{- 1, 2, 3\}$ ，判断它们是否具有性质 $G$ ，若有，则直接写出其对应的集合 $P, Q$ ；若无，请说明理由；

(2)、集合 $A$ 具有性质 $G$ ，若 $k = 100$ ，求：集合 $Q$ 最多有几个元素？

(3)、试判断：集合 $A$ 具有性质 $G$ 是 $m = n$ 的什么条件，并证明．

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20、已知函数 $f (x) = a^{x} + (1 - m) a^{- x} (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ 是奇函数，且过点 $(1, \frac{3}{2})$ ．

(1)、求实数 $m$ 和 $a$ 的值；

(2)、设 $g (x) = {log}_{t} [2^{2 x} + 2^{- 2 x} - t f (x)] (t > 0, t \neq 1)$ ，是否存在正实数 $t$ ，使关于 $x$ 的不等式 $g (x) \leq 0$ 对 $x \in [2, {log}_{2} 5]$ 恒成立，若存在，求出 $t$ 的范围；若不存在，请说明理由．

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$\bar{y}$	$\bar{x}$	$\sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i}$	$\bar{t}$	$\sum_{i = 1}^{6} t_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{n} t_{i} y_{i}$
48.7	3.5	91	1204	1.1	9.4	388.1