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相关试卷

1、直线 $\sqrt{3} x + y = 0$ 绕原点逆时针旋转 $90 °$ 后所对应的直线的斜率为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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2、已知 $a = \log_{2} \frac{1}{3}, b = {(\sqrt{2})}^{\frac{2}{3}}, c = {(\sqrt[3]{2})}^{\frac{3}{5}}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $a < c < b$

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3、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} - a^{2} x (a > 0)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，以点 $T (1, f (1))$ 为切点作曲线 $f (x)$ 的切线，求切线方程；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 有3个零点；

(3)、若 $f (x)$ 在区间 $(a - 5, 3 - a)$ 上有最小值，求 $a$ 的取值范围．

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4、某林场去年底森林木材储存量为100万 $m^{3}$ ，若树木以每年20%的增长率生长，计划从今年起，每年底要砍伐x万 $m^{3}$ 木材，记 $a_{n}$ 为第n年年底的木材储存量.

(1)、写出 $a_{1}, a_{2}$ ；写出数列 $\{a_{n}\}$ 的递推公式；

(2)、为了实现经过10年木材储存量翻两番（原来的4倍）的目标，每年砍伐的木材量x的最大值是多少?（精确到0.1万 $m^{3}$ ）
参考数据： ${1.2}^{9} = 5.16, {1.2}^{10} = 6.19$ .

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5、已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $4 S_{n} = {(a_{n} + 1)}^{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} \cdot a_{2^{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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6、如图，某广场内有一半径为 $50 \sqrt{3}$ 米的圆形区域，圆心为 $O$ ，其内接矩形 $A B C D$ 的内部区域为居民的健身活动场所，已知 $A B = 100$ 米，为扩大居民的健身活动场所，打算对该圆形区域内部进行改造，方案如下：过圆心 $O$ 作直径 $M N$ ，使得 $M N // A B$ ，在劣弧 $\overset{⌢}{M C}$ 上取一点 $E$ ，过点 $E$ 作圆 $O$ 的内接矩形 $E F G H$ ，使 $E F // M N$ ，把这两个矩形所包括的内部区域均作为居民的健身活动场所，其余部分进行绿化，设 $∠ M O E = x$ ．
（1）记改造后的居民健身活动场所比原来增加的用地面积为 $f (x)$ （单位：平方米），求 $f (x)$ 的表达式（不需要注明 $x$ 的范围）．
（2）当 $f (x)$ 取最大值时，求 $x$ 的值为．

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7、已知数列 ${a_{n}}$ 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{3} + a_{4} = 7$ ， $a_{5} + a_{6} = 13$ ，则 $a_{7} + a_{8} =$ .

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8、有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有种不同的招聘方案．(用数字作答)

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9、关于函数 $f (x) = \frac{2}{x} + \ln x$ ，下列判断正确的是（）．

A、 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的极大值点 B、函数 $y = f (x) - x$ 有且只有1个零点 C、存在正实数，使得 $f (x) > k x$ 成立 D、对任意两个正实数 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 4$ ．

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10、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（）

A、 $f (a) > f (e) > f (d)$ B、函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上递增，在 $[b, d]$ 上递减 C、函数 $f (x)$ 的极值点为 $c$ ， $e$ D、函数 $f (x)$ 的极大值为 $f (b)$

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11、已知函数 $f (x) = a e^{x} + x$ （ $a > 0$ ）在点 $(0, f (0))$ 处的切线为直线 $l$ ，若直线 $l$ 与两坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{2}{3}$ ，则实数 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、 $\frac{2}{3}$

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12、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $O$ 为坐标原点， $E$ 为椭圆在第一象限上的一点，直线 $E A$ ， $E B$ 分别交 $y$ 轴于点 $P$ ， $Q$ .

(1)、求 $|O P| \cdot |O Q|$ 的值；

(2)、在直线 $F_{2} Q$ 上取一点 $D$ （异于 $F_{2}$ ），使得 $|O D| = 1$ .
（ⅰ）证明： $P$ ， $D$ ， $F_{1}$ 三点共线；
（ⅱ）求 $△ P D F_{2}$ 与 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积之比的取值范围.

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13、已知函数 $f (x) = x^{2} ln (x + a)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(e, f (e))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点，求 $a$ 的取值范围.

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14、如图， $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，直线 $l$ 与 $△ A B C$ 的边 $A B$ ， $A C$ 分别相交于点 $D$ ， $E$ ，设 $∠ A D E = θ$ ，满足 $a cos (B - θ) + b cos (A + θ) = \frac{1}{2} c$ .

(1)、求角 $θ$ 的大小；

(2)、若 $A E = \sqrt{13}$ ， $△ A D E$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求 $△ A D E$ 的周长.

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15、如图，四边形 $A B C D$ 为圆台 $O_{1} O_{2}$ 的轴截面， $A B = 2 C D$ ，圆台的母线与底面所成的角为 $60 °$ ，母线长为 $2$ ， $P$ 是弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上的点， $C P = \sqrt{6}$ ， $E$ 为 $A P$ 的中点.

(1)、证明： $D E / /$ 平面 $B C P$ ；

(2)、求平面 $A C P$ 与平面 $B C P$ 夹角的余弦值.

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16、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} - \frac{1}{2} sin 2 x + 1$ ，若对任意 $x \in (1, + \infty)$ ， $f (a ln x) + f (- x) < 2$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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17、已知i为虚数单位，若 $z \cdot \bar{z} + z - \bar{z} = 9 + 4 i$ ，则 $|z| =$ .

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18、某校南门前有条长80米，宽8米的公路（如图矩形 $A B C D$ ），公路的一侧划有16个长5米宽2.5米的停车位（如矩形 $A E F G$ ），由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，学校提出一个改造方案，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度 $A M = 3$ （米），停车位相对道路倾斜的角度 $∠ E^{'} A^{'} M = α$ ，其中 $α \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ ，则（）

A、 $cos α = \frac{4}{5}$ B、 $cos α = \frac{3}{5}$ C、该路段改造后的停车位比改造前增加8个 D、该路段改造后的停车位比改造前增加9个

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19、已知双曲线： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，过 $M (- 2 a, 0)$ 的直线分别交双曲线左右两支为 $A, B$ ， $A$ 关于原点 $O$ 的对称点为 $C$ ，若 $2 ∠ B M O + ∠ M B C = \frac{π}{2}$ ，则双曲线的离心率 $e =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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20、某种药物作用在农作物上的分解率为 $v$ ，与时间 $t$ （小时）满足函数关系式 $v = a b^{t}$ （其中 $a, b$ 为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为 $10 %$ ，经过24小时该药物的分解率为 $20 %$ ，那么这种药物完全分解，至少需要经过（）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3$ ）

A、48小时 B、52小时 C、64小时 D、120小时

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