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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + b x^{2} + c x + 3$ 在 $(- \infty, - 1)$ 和 $(3, + \infty)$ 上为增函数，在 $(- 1, 3)$ 上为减函数．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的极值．

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2、已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 满足： $f^{'} (x) - f (x) = e^{2 x}$ ，且 $f (0) = 1$ ，当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $x (f (x) - a) \geq 1 + \ln x$ 恒成立，则实数a的取值范围是．

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3、老师排练节目需要 $3$ 名男生和 $2$ 名女生，将这 $5$ 名学生随机排成一排， $2$ 名女生不相邻的排法为.

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4、给定数列 $\{a_{n}\}$ ，定义差分运算： $Δ a_{n} = a_{n + 1} - a_{n}, Δ^{2} a_{n} = Δ a_{n + 1} - Δ a_{n}, n \in N^{*}$ ．若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = n^{2} + n$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的首项为1，且 $Δ b_{n} = (n + 2) \cdot 2^{n - 1}, n \in N^{*}$ ，则（）

A、存在 $M > 0$ ，使得 $Δ^{2} a_{n} < M$ 恒成立 B、 $b_{n} = n \times 2^{n - 1}$ C、对任意 $M > 0$ ，总存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $b_{n} < M$ D、对任意 $M > 0$ ，总存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $\frac{Δ^{2} b_{n}}{b_{n}} > M$

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5、已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + b x + 1$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的极值点同时也是 $f (x)$ 的零点，则（）

A、 $b = 2$ B、 $f (x)$ 在R上单调递增 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 1, 0)$ 中心对称 D、过坐标原点只有两条直线与曲线 $y = f (x)$ 相切

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6、已知二项式 ${(2 - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{9}$ 的展开式，则（）

A、常数项是512 B、有理项（x的指数为整数的项）共有5项 C、第4项和第5项的二项式系数相等 D、展开式的二项式系数和为512

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7、已知函数 $f (x) = (a e^{x} + e x) (e^{x} + e x)$ 与 $g (x) = e^{2 x}$ 的图象恰有三个不同的公共点（其中 $e$ 为自然对数的底数），则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{2}, 0)$ B、 $(- \frac{1}{2}, 1)$ C、 $(\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$

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8、已知 $(2 + k x) \cdot {(1 + x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，其中 $a_{2} = 25$ ，则 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} =$ （）

A、16 B、32 C、24 D、48

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9、一袋中有大小相同的 $4$ 个红球和 $2$ 个白球，若从中不放回地取球 $2$ 次，每次任取 $1$ 个球，记“第一次取到红球”为事件 $A$ ， “第二次取到白球”为事件 $B$ ，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{4}{15}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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10、今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影片的选择共有（）

A、36种 B、45种 C、48种 D、72种

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11、函数 $f (x) = e^{- x} - x - 2$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程是（）

A、 $y + 1 = 0$ B、 $y - 1 = 0$ C、 $2 x + y + 1 = 0$ D、 $2 x + y - 1 = 0$

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12、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - 6} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则椭圆 $C$ 的长轴长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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13、我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{|x - 1|}$ B、 $f (x) = \frac{1}{||x| - 1|}$ C、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

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14、

(1)、已知 $x > 1$ ，求函数 $y = \frac{4}{x - 1} + x$ 的最小值；

(2)、已知正数 $x, y$ 满足 $4 x + y = 1$ ，求 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值.

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是直角梯形，其中 $A D / / B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A = 4, A B = A D = \frac{1}{2} B C = 2,$ ， E为棱 $B C$ 上的点，且 $B E = \frac{1}{4} B C$ .

(1)、求证： $D E ⊥$ 平面 $A P C$ ；

(2)、求平面 $A P C$ 与平面 $P C D$ 所成夹角的正弦值.

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16、若直线l的方向向量是 $\vec{e} = (- 1, \sqrt{3}) ，$ 则直线l的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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17、已知 $a = 2023^{2025}$ ， $b = 2024^{2024}$ ， $c = 2025^{2023}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $c > a > b$

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18、已知曲线C的方程为： $\{\begin{array}{l} \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (y \geq 0) \\ x^{2} + y^{2} = 4 (y < 0) \end{array}$ ， $M (- 1, 0)$ ， $N (1, 0)$ ，过M的直线交曲线C于A、B两点（A在B的上方），已知 $∠ A M N = α$ ， $∠ A N M = β$ ，下列命题正确的是（）

A、 $\sin α + \sin β = 2 \sin (α + β)$ B、 $\tan \frac{α}{2} + 3 \tan \frac{β}{2}$ 的最小值是2 C、 $△ A B N$ 周长的最大值是 $4 + 2 \sqrt{5}$ D、若 $α = \frac{π}{3}$ ，将 $△ A M N$ 沿 $M N$ 翻折，使面 $A M N ⊥$ 面 $M N B$ ，则折后 $|A B| = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

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19、下列说法中正确的是（）

A、数据1，2，2，3，4，5的极差与众数之和为7 B、若随机变量X服从二项分布 $X ~ B (20, p)$ ，且 $E (X) = 8$ ，则 $D (X) = 4.8$ C、X和Y是分类变量，若 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ 值越大，则判断“X与Y独立”的把握性越大 D、若随机变量X服从正态分布 $X ~ N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X > 5) = 0.2$ ，则 $P (- 1 < X < 5) = 0.6$

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20、已知函数 $f (x) = (a - 2) x^{2} + b x - a + 1$ （a， $b \in R$ 且 $a \neq 2$ ）在区间 $[1, 2]$ 上有零点，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、1

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