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相关试卷

1、函数 $f (x) = (\frac{1}{x} + 3) (1 - \frac{2}{x}) (2 x^{2} + a x + b)$ ，对任意的 $x \neq 0$ 时，都有 $f (x) - f (\frac{1}{x}) = 0$ ，则 $a + 2 b =$ ，函数 $f (x)$ 的最小值是.

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2、对于给定的非空集合M，定义集合 $M^{+} = \{z| z = |x + y|, x \in M, y \in M\}$ ， $M^{-} = \{z| z = |x - y|, x \in M, y \in M\}$ ，当 $M^{+} \cap M^{-} = \emptyset$ 时，则称 $M$ 具有“对称性”，而 $M^{+}$ ， $M^{-}$ 称为 $M$ 的对称集合．

(1)、试判断集合 $S = {3, 4}$ ， $T = {0, 1, 7}$ 是否具有“对称性”，如果有，求出其对称集合；如果没有，请说明理由

(2)、若集合 $A = \{1, 2, t\} \subseteq N$ ，且集合 $A$ 具有"对称性"，求 $t$ 的最小值．

(3)、已知 $0 \leq m \leq 2023$ ，且 $m \in N$ ，记 $B = {m, m + 1, m + 2, \dots, 2024}$ ，若集合B具有“对称性”，求m的最小值．

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3、高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的"高斯函数"为 $y = [x]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过x的最大整数．例如： $[- 3.1] = - 4$ ， $[3.1] = 3$ ，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，例如停车收费，出租车收费等都是按"高斯函数"进行计费的；“11.11”期间，某购物网站进行下面二项优惠促销活动：
第一项：一次性购买商品，每满120元立减10元；
第二项：在享受了第一项优惠以后，购买的商品总价每满800元再减80元．
例如，一次购买商品1620元，则实际支付额 $1620 - 10 \times [\frac{1620}{120}] - 80 \times 1 = 1410$ 元；

(1)、小丽计划在网站购买两件价格分别是500元和1300元的商品，她是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；

(2)、某商品是小丽常用必需品，其价格为60元/件，小丽预算不超过1000元，试求她应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？

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4、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a, b, c \in R)$ ．

(1)、若 $a = 1$ ， $f (x) > 0$ 的解集为 $(- \infty, 2) \cup (3, + \infty)$ ，求 $b, c$ ；

(2)、 $a = \sqrt{b + c - 1}$ ，方程 $f (x) = 0$ 的两根为 $x_{1}, x_{2}$ ，求 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1)$ 的最小值．

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5、若关于x的不等式 $x^{2} + | x - a | < 3$ 在 $(- \infty, 0)$ 上有解，则实数a的取值范围是．

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6、如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为 $18000 {cm}^{2}$ ，四周空白的宽度为 $1 0cm$ ，两栏之间的中缝空白的宽度为 $5cm$ ，则矩形广告的总面积最小值为 ${cm}^{2}$ ．

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7、已知正实数x，y满足 $x y + x + y = 8$ ，下列说法正确的是（）

A、xy的最大值为2 B、 $x + y$ 的最小值为4 C、 $x + 2 y$ 的最小值为 $6 \sqrt{2} - 3$ D、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最大值为1

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8、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，可将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数．则函数 $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2}$ 图象的对称中心为（）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(1, - 2)$ D、 $(- 1, - 2)$

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9、甲、乙、丙、丁四位同学猜测校运会长跑比赛中最终获得冠军的运动员
甲说：“冠军是李亮或张正”
乙说：“冠军是林帅或张正”
丙说：“林帅和李亮都不是冠军”
丁说：“陈奇是冠军”．
结果出来后，只有两个人的推断是正确的，则冠军是（）

A、林帅 B、李亮 C、陈奇 D、张正

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10、设 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sqrt{x}, 0 < x < 1 \\ 2 (x - 1), x \geq 1 \end{array}$ ，若 $f (m) = f (m + 1)$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{16}$

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11、为实现碳达峰、碳中和，中共中央国务院提出，到2025年单位国内生产总值二氧化碳排放比2020年下降18%，则2020年至2025年要求单位国内生产总值二氧化碳排放的年均减排率最低是（）

A、0.036 B、 $\sqrt[5]{0.82}$ C、 $1 - \sqrt[5]{0.82}$ D、 $1 + \sqrt[5]{0.82}$

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12、若 $a = 2^{0.6}$ ， $b = 4^{0.4}$ ， $c = {0.8}^{3}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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13、命题“ $\forall x ＞ 0$ ，使得 $x^{2} + x + 2 ＞ 0$ ”的否定是（　　）

A、 $\forall x ＞ 0$ ， $x^{2} + x + 2 ＜ 0$ B、 $\forall x ＞ 0$ ， $x^{2} + x + 2 \leq 0$ C、 $\exists x ＞ 0$ ， $x^{2} + x + 2 ＜ 0$ D、 $\exists x ＞ 0$ ， $x^{2} + x + 2 \leq 0$

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14、下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0, + \infty)$ 上为增函数的是（）

A、 $y = 2024 - x$ B、 $y = e^{x} + 2024$ C、 $y = x^{2} + 2024$ D、 $y = - | x | + 2024$

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15、若集合 $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ， $B = {x | x^{2} \leq 10}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${0, 1, 2, 3, 4}$ D、 ${0, 1, 2, 3}$

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16、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A C$ 和 $B D$ 的交点，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则下列式子中与 $\vec{M B_{1}}$ 相等的是（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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17、如果函数 $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ ， $x \in [0, 2]$ ，那么函数 $f (x)$ 的值域为（）

A、 $[- 4, + \infty)$ B、 $[- 4, 5]$ C、 $[- 3, 5]$ D、 $[0, 5]$

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18、定义：若函数 $f (x)$ 图象上恰好存在相异的两点 $P$ ， $Q$ 满足曲线 $y = f (x)$ 在 $P$ 和 $Q$ 处的切线重合，则称 $P$ ， $Q$ 为曲线 $y = f (x)$ 的“双重切点”，直线 $P Q$ 为曲线 $y = f (x)$ 的“双重切线”．

(1)、直线 $y = 2 x$ 是否为曲线 $f (x) = x^{3} + \frac{1}{x}$ 的“双重切线”，请说明理由；

(2)、已知函数 $g (x) = \{\begin{array}{l} e^{x} - \frac{2}{e}, x \leq 0, \\ \ln x, x > 0, \end{array}$ 求曲线 $y = g (x)$ 的“双重切线”的方程；

(3)、已知函数 $h (x) = \sin x$ ，直线 $P Q$ 为曲线 $y = h (x)$ 的“双重切线”，记直线 $P Q$ 的斜率所有可能的取值为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， …， $k_{n}$ ，若 $k_{1} > k_{2} > k_{i}$ （ $i = 3, 4, 5, \cdot \cdot \cdot, n$ ），证明： $\frac{k_{1}}{k_{2}} < \frac{15}{8}$ ．

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19、已知椭圆 $Γ : \frac{y^{2}}{12} + \frac{x^{2}}{6} = 1$ ， $F$ 是 $Γ$ 的下焦点，过点 $R (0, 6)$ 的直线 $l$ 交 $Γ$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，
（1）求 $F$ 的坐标和椭圆 $Γ$ 的焦距；
（2）求 $△ M N F$ 面积的最大值，并求此时直线 $l$ 的方程；
（3）在 $y$ 轴上是否存在定点 $S$ ，使得 $∠ R S M + ∠ R S N = π$ 恒成立?若存在，求出定点 $S$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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20、已知函数 $f (x) = e^{2 x} + e^{x} - a x$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、讨论 $f (x)$ 极值点的个数.

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