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相关试卷

1、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若 $\vec{B_{1} P} = \frac{1}{3} \vec{B_{1} C}$ ，则平面 $A_{1} B P$ 与平面 $A_{1} B_{1} P$ 夹角的余弦值（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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2、类比椭圆的方程 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 我们可以得到一个新的曲线方程 $C : \frac{x^{4}}{16} + y^{4} = 1$ ，曲线 $C$ 上的点到原点 $O$ 的距离平方最大值为（）

A、1 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $\sqrt{17}$

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3、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在棱 $B B_{1}$ ， $D D_{1}$ 上，且 $B E = \frac{1}{4} B B_{1}$ ， $D F = \frac{1}{3} D D_{1}$ ．若 $\vec{E F} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $- \frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{25}{12}$ D、 $- \frac{1}{6}$

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4、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ，直线 $x - y + a = 0$ 上存在点 $P$ ，过点 $P$ 作圆 $O$ 的两条切线，切点为 $A$ ， $B$ ，使得 $∠ A P B = 60^{\circ}$ ，则 $a$ 的取值范围（）

A、 $[- 2, 2]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$ D、 $[- 2 \sqrt{2}, + \infty)$

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5、若 $\vec{a} = (- 1, 2, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2, - 3)$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、 $- 2$ B、4 C、 $- 21$ D、26

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6、已知直线 $a x - 4 y - 1 = 0$ 与直线 $a x + (a + 1) y + 4 = 0$ 平行，则 $a =$ （）

A、 $- 5$ B、 $- 5$ 或0 C、1 D、1或0

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7、圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 3 = 0$ 的圆心到直线 $x + y + 1 = 0$ 的距离为（）

A、2 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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8、已知抛物线 $C : x^{2} = 16 y$ 的焦点为 $F$ ，点 $M (x_{0}, y_{0})$ 为抛物线 $C$ 上一点，若 $|M F| = 2 y_{0}$ ，则 $y_{0} =$ （）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、8 D、 $8 \sqrt{2}$

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9、若圆锥的表面积为 $12 π$ ，底面圆的半径为2，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π$ B、 $4 \sqrt{3} π$ C、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $8 \sqrt{3} π$

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10、下列四个正方体中， $A$ ， $B$ ， $C$ 为所在棱的中点， $D$ ， $E$ ， $F$ 为正方体的三个顶点，则能得出平面 $A B C / /$ 平面 $D E F$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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11、在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为内角 $A$ ， B， $C$ 的对边，且 $2 a \sin A = (2 b + c) \sin B + (2 c + b) \sin C$ .

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、若 $\sin B + \sin C = 1$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状；

(3)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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12、已知直三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 满足 $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = \frac{1}{2} A A^{'} = 2$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为 $A^{'} B$ ， $B^{'} C^{'}$ 的中点.

(1)、求证： $M N$ $∥$ 平面 $A^{'} A C C^{'}$ ；

(2)、求证： $A^{'} N ⊥$ 平面 $B C N$ .

(3)、求三棱锥 $C - M N B$ 的体积.

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13、在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处 $(\sqrt{3} - 1) nmile$ 的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处 $2 nmile$ 的C处的缉私船奉命以 $10 \sqrt{3} nmile/h$ 的速度追截走私船.此时，走私船正以 $10 nmile/h$ 的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.

(1)、求线段 $B C$ 的长度；

(2)、求 $∠ A C B$ 的大小；

(3)、问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船?最快需要多长时间?参考数值： $\sin 15 ° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ ， $\cos 15 ° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

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14、已知如图正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为．

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15、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b - \frac{1}{2 a} - \frac{2}{b} = \frac{3}{2}$ ，则以下正确的是（）

A、若 $a < b$ ，则 $a < 1$ B、若 $a < 1$ ，则 $b > 2$ C、 $a + b$ 最小值为3 D、 $a b$ 最大值为2

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16、若 ${log}_{a} b > 1$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a > b$ B、 $a b < a + b - 1$ C、 $a + \frac{1}{b} > b + \frac{1}{a}$ D、 $a - \frac{1}{b} < b - \frac{1}{a}$

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17、设 $z$ 是复数且 $|z - 1 + 2 i| = 1$ ，则 $|z|$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $\sqrt{5} - 1$ D、 $\sqrt{5}$

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18、已知函数 $f (x) = m \cdot 4^{x} - 2^{x}$ ，若存在非零实数 $x_{0}$ ，使得 $f (- x_{0}) = f (x_{0})$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是.

A、 $(0, \frac{1}{2})$ B、 $(0, 2)$ C、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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19、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (3, 1)$ ，向量 $\vec{c}$ 满足 $\vec{c} ⊥ \vec{a}$ ， $\vec{a} / / (\vec{c} + \vec{b})$ ，则 $\vec{c} =$ （　　）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(2, - 1)$ C、 $(- 2, 1)$ D、 $(2, 1)$

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20、 $α \neq β$ 是 $\sin α \neq \sin β$ 的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充分必要条件 D、既非充分又非必要条件

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