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相关试卷

1、下列说法正确的有（）

A、当 $0 < x < 10$ 时， $\sqrt{x (10 - x)}$ 的最大值是5 B、当 $x > - 1$ 时， $x + \frac{1}{x + 1} \geq 1$ C、已知正实数 $x, y$ 满足 $x + y = 2$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值是2 D、 $\sqrt{x^{2} + 3} + \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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2、下列函数中，既是偶函数，又在 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x}$ B、 $f (x) = x^{4}$ C、 $f (x) = 2^{| x |}$ D、 $f (x) = | x | + \frac{1}{| x |}$

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3、已知函数 $f (x) = \frac{a x + 1 + | 2 x^{2} + a x - 1 |}{2} (a \in R)$ 的最小值为0，则 $a =$ （）

A、 $\pm \frac{1}{4}$ B、 $\pm \frac{1}{2}$ C、 $\pm 1$ D、 $\pm 2$

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4、中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用 $80 ℃$ 的水泡制，再等到茶水温度降至 $60 ℃$ 时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是 $T_{0}$ ，经过 $t min$ 后的温度是 $T$ ，则 $T - T_{α} = (T_{0} - T_{α}) e^{- \frac{t}{h}} (e \approx 2.71828 \dots)$ ，其中 $T_{α}$ 表示环境温度， $h$ 表示半衰期．该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是 $80 ℃$ ，放在 $20 ℃$ 的室温中， $10 min$ 以后茶水的温度是 $50 ℃$ ，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1，参考数据 $\ln 2 \approx 0.7$ ， $\ln 3 \approx 1.1$ ）（）

A、 $5.7 min$ B、 $5.8 min$ C、 $5.9 min$ D、 $6.0 min$

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5、已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对任意的 $x$ 满足 $f (- x) = f (x + 2)$ ，且 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 0]$ 上单调递增，若 $a = 1$ ， $b = \frac{3}{2}$ ， $c = 3$ ，则 $f (a), f (b), f (c)$ 的大小关系为（）

A、 $f (c) > f (a) > f (b)$ B、 $f (c) > f (b) > f (a)$ C、 $f (a) > f (b) > f (c)$ D、 $f (a) > f (c) > f (b)$

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6、函数 $y = \frac{|x^{2} - 1|}{x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7、已知实数 $a > b > 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $a - \frac{b}{a} > b - \frac{a}{b}$ D、 $\frac{b}{a} > \frac{b + 1}{a + 1}$

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8、已知命题 $p : \forall x \in R$ ， $e^{x} - x + 2 > 0$ ，则（）．

A、 $\neg p : \exists x_{0} \in R$ ， $e^{x_{0}} - x_{0} + 2 > 0$ B、 $\neg p : \exists x_{0} \in R$ ， $e^{x_{0}} - x_{0} + 2 \leq 0$ C、 $\neg p : \forall x \in R$ ， $e^{x} - x + 2 < 0$ D、 $\neg p : \forall x \in R$ ， $e^{x} - x + 2 \geq 0$

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9、已知 $A = \{x ∣ |x| \leq 1\}, B = {x | x < 4, x \in N}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, 1]$ B、 $(0, 1]$ C、 $\{1\}$ D、 $\{0, 1\}$

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10、对于 $m (m = 2, 3, \dots)$ 项数列 $\{a_{n}\}$ ，若满足 $\sum_{i = 1}^{m} |a_{i}| - |\sum_{i = 1}^{m} a_{i}| = m - 1$ ，则称它为一个满足“绝对值关联”的 $m$ 阶数列．

(1)、对于一个满足“绝对值关联”的 $m$ 阶数列 $\{a_{n}\}$ .证明：存在 $i, j \in {1, 2, \dots, m}$ ，满足 $a_{i} a_{j} < 0$ ；

(2)、若“绝对值关联”的 $m$ 阶数列 $\{a_{n}\}$ 还满足 $|a_{i}| \leq λ (i = 1, 2, \dots, m)$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 为“绝对值 $λ$ 关联”的 $m$ 阶数列．
①请分别写出一个满足“绝对值 $\frac{3}{4}$ 关联”的 $4$ 阶数列和满足“绝对值 $1$ 关联”的 $5$ 阶数列（不必论证，符合要求即可）；
②若存在“绝对值 $λ$ 关联”的 $n$ 阶数列 $(n \geq 2)$ ，求 $λ$ 的最小值（最终结果用常数或含 $n$ 的式子表示）．

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11、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + a x - a x \ln x$ 在 $(0, + \infty)$ 上有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $\frac{x_{2}}{x_{1}} \in (1, e)$ 时，证明： $2 < e \ln x_{1} + \ln x_{2} < e + 1$ .

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12、如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形ABCD是菱形，四面体 $A_{1} B C_{1} D$ 的体积与四面体 $A_{1} B_{1} B C_{1}$ 的体积之差为 $2, △ A_{1} B D$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求点 $A$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离；

(2)、若 $A_{1} B = A_{1} D, A_{1} B ⊥ A_{1} C_{1}, B D = 2$ ，求锐二面角 $A_{1} - B D - C_{1}$ 的余弦值．

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13、记首项为1的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = (n + 1) a_{n}$ .

(1)、探究数列 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 是否为单调数列；

(2)、求数列 $\{a_{n} \cdot 2^{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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14、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + \cos 2 x, x \in (0, π)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{12}, m]$ 上的最小值为 $- 2$ ，求 $m$ 的取值范围.

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15、已知 $P$ 为边长为4的正六边形ABCDEF内部及其边界上的一点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B}$ 的取值范围是.

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16、设函数 $f (x) = e^{x} - n x + n^{2}, n \in N_{+}$ ，记 $f (x)$ 的最小值为 $a_{n}$ ，则（）

A、 $a_{1} > a_{2} - 2$ B、 $a_{n} \geq n + 1$ C、 $f (a_{n}) > f (n)$ D、 $a_{n + m} > a_{n} + a_{m}$

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17、三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ，设AB的中点为 $E, A A_{1}$ 的中点为 $F, A_{1} E$ 与BF交于点 $G, A_{1} C$ 与 $C_{1} F$ 交于点 $H$ ，则（）

A、直线GH与直线 $B B_{1}$ 异面 B、 $G H / / B C_{1}$ C、线段AE上存在点 $P$ ，使得 $B C_{1} / /$ 平面 $A_{1} P C$ D、线段BE上存在点 $P$ ，使得 $B C_{1} / /$ 平面 $A_{1} P C$

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18、 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b \cos C + c \cos B = 2, A = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的内切圆半径的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $1$

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19、已知函数 $f (x) = \ln \frac{x + 1}{x + m} + 2 x (m \neq 1)$ 关于点 $(n, 4)$ 中心对称，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(n - m$ ， $f (n - m))$ 处的切线斜率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{7}{4}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{13}{8}$

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20、经研究表明：光源发射出来的粒子在没有被捕获之前属于光子，光子在离开光源后会与各种粒子撞击，其动量可能会改变，导致其速度降低，最终可能改变身份成为其他范围的粒子（如红外线粒子），不再能被人类的感光设备捕获.已知在某次光学实验中，实验组相关人员用人类感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子 $A$ ， $B$ ，通过数学建模与数据分析得知，此时刻在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为 $\vec{s_{A}} = (4, 3), \vec{s_{B}} = (2, 10)$ ，设光子 $B$ 相对光子 $A$ 的位移为 $\vec{s}$ ，则 $\vec{s}$ 在 $\vec{s_{A}}$ 上的投影向量的坐标为（）

A、 $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ B、 $(- 2, 7)$ C、 $(\frac{52}{25}, \frac{39}{25})$ D、 $(\frac{4}{25}, \frac{3}{25})$

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