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相关试卷

1、设函数 $f (x) = cos (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ 且 $|φ| < \frac{π}{2}$ ）满足以下条件：① $\forall x \in R$ ，满足 $f (x) \geq f (\frac{7 π}{12})$ ；② $\exists x_{0}$ ，使得 $f (\frac{π}{3}) = f (x_{0}) = 0$ ；且 ${|x_{0} - \frac{π}{3}|}_{min} > \frac{π}{6}$ ，则关于x的不等式 $[f (x) - f (- \frac{31 π}{4})] [f (x) - f (\frac{31 π}{3})] > 0$ 的最小正整数解为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x - \cos ω x$ ，若关于x的方程 $f (x) - 1 = 0$ 在区间 $(0, 2 π]$ 上有且只有四个不相等的实数根，则正数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ B、 $(\frac{3}{2}, \frac{25}{6}]$ C、 $(\frac{3}{2}, \frac{13}{6}]$ D、 $[\frac{3}{2}, \frac{13}{6})$

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3、已知 $θ \in (\frac{π}{4}, \frac{3π}{4})$ ， $cos (θ - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，则 $tan θ =$ （）

A、-7 B、 $- \frac{1}{7}$ C、7 D、 $\frac{1}{7}$

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4、已知 $a = \sin 2$ ， $b = \cos 2$ ， $c = \tan 2$ ， $d = 1$ ，则（）

A、 $a < b < c < d$ B、 $a < b < d < c$ C、 $c < b < a < d$ D、 $b < a < d < c$

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5、将函数 $f (x) = sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图象上所有点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到的图象关于原点对称，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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6、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{C B} = \vec{b}$ ，则 $\vec{C A}$ 等于（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ B、 $\vec{a} - \vec{b}$ C、 $- \vec{a} - \vec{b}$ D、 $\vec{b} - \vec{a}$

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7、 $sin 40 ° cos 20 ° + cos 40 ° cos 70 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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8、已知函数 $f (x) = sin (2 ω x - \frac{π}{6})$ 的最小正周期为 $\frac{π}{5}$ ，其中 $ω > 0$ ，则 $ω =$ （）

A、4 B、5 C、8 D、10

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9、已知函数 $f (x) = - e^{2 x} + 6 e^{x} - a x - 2$ ．

(1)、当 $a = 4$ 时，求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ．
（ⅰ）求 $a$ 的取值范围；
（ⅱ）证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) + x_{1} + x_{2} < \frac{22}{3}$ ．

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10、已知函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{4} x + \frac{3 a^{2}}{x} (a \neq 0)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $g (x) = 2 x^{2} - m e^{x} + \frac{e^{2}}{12} + \frac{1}{4}$ ，当 $a = - \frac{e}{6}$ 时，对任意的 $x_{1} \in [1, 4]$ ，总存在 $x_{2} \in [1, e]$ ，使 $g (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，求实数m的取值范围．

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11、已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q > 1$ ， $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 14$ ， $a_{2} + 1$ 是 $a_{1}$ ， $a_{3}$ 的等差中项.等差数列 ${b_{n}}$ 满足 $2 b_{1} = a_{2}$ ， $b_{4} = a_{3}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、 $c_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和.

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12、已知 $f (x) = a \ln x + x^{2} - 3 b$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $2 x + y - 4 = 0$ ．

(1)、求实数a，b的值；

(2)、若曲线C： $y = - \frac{a}{12} x^{3} - 4 b$ ，求曲线C过点 $(2, 4)$ 的切线方程．

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13、等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{4} = 11$ ， $a_{7} = 2$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ 的最大值.

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14、已知函数 $y = a \ln x - x + 1$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线与直线 $x + 2 y - 1 = 0$ 垂直，则实数a的值为.

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15、已知函数 $f (x) = a e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} (a \in R)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则（）

A、 $0 < a < \frac{1}{e}$ B、 $f (x_{1}) > \frac{1}{2}$ C、 $f (x_{2}) < \frac{1}{2}$ D、 $x_{1} + x_{2} > 2$

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16、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(\tan 2 x)}^{'} = 2 \tan 2 x$ B、 ${(\log_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 2}$ C、 ${(5^{x})}^{'} = 5^{x} \log_{5} x$ D、 ${(x^{2} \cos x)}^{'} = 2 x \cos x - x^{2} \sin x$

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17、函数 $f (x) = x - 2 ln x$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \infty, 0)$ 和 $(0, 2)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(0, 2)$

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18、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有

A、 $\frac{1}{7} (8^{7} - 8)$ 人 B、 $\frac{1}{7} (8^{9} - 8)$ 人 C、 $8 + \frac{1}{7} (8^{7} - 8)$ 人 D、 $8 + \frac{1}{7} (8^{9} - 8^{4})$ 人

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19、函数 $f (x)$ 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（）

A、 $f^{'} (1) > f^{'} (2) > f^{'} (3) > 0$ B、 $f^{'} (1) < f^{'} (2) < f^{'} (3) < 0$ C、 $0 < f^{'} (1) < f^{'} (2) < f^{'} (3)$ D、 $f^{'} (1) > f^{'} (2) > 0 > f^{'} (3)$

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20、已知A､B为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1(a>b>0)和双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1的公共顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足 $\vec{A P} + \vec{B P} = λ (\vec{A Q} + \vec{B Q}) (λ \in R, | λ | > 1)$ ，设直线AP､BP､AQ､BQ的斜率分别为k₁､k₂､k₃､k₄.
（1）求证：点P､Q､O三点共线；
（2）当a=2，b= $\sqrt{3}$ 时，若点P､Q都在第一象限，且直线PQ的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，求△BPQ的面积S；
（3）若F₁､F₂分别为椭圆和双曲线的右焦点，且QF₁ $/ /$ PF₂ ，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值.

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