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相关试卷

1、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是菱形，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A C D = 30^{\circ}, E$ 为 $A D$ 的中点，点 $F$ 在 $P A$ 上， $A P = 3 A F$ .

(1)、证明： $P C$ $/ /$ 平面 $B E F$ ；

(2)、若 $∠ P D C = ∠ P D B$ ，且 $P D$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $45^{\circ}$ ，求平面 $A E F$ 与平面 $B E F$ 夹角的余弦值.

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2、经过点 $P (0, - 1)$ 作直线 $l$ ，且直线 $l$ 与连接点 $A (1, - 2)$ ， $B (2, 1)$ 的线段总有公共点，则下列结论正确的是（）

A、直线 $l$ 的倾斜角 $α$ 的取值范围为 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}]$ B、直线 $l$ 的倾斜角 $α$ 的取值范围为 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$ C、斜率 $k$ 的取值范围为 $[- 1, 1]$ D、斜率 $k$ 的取值范围为 $(- \infty, - 1]\cup[1, + \infty)$

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3、某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于：“观光湖”内两处景点A，C之间的距离，如图，B处为码头入口，D处为码头，BD为通往码头的栈道，且 $B D = 100 m$ ，在B处测得 $∠ A B D = \frac{π}{4} ， ∠ C B D = \frac{π}{6}$ ，在D处测得 $∠ B D C = \frac{2π}{3} ， ∠ A D C = \frac{3π}{4}$ ．（A，B，C，D均处于同一测量的水平面内）

(1)、求A，C两处景点之间的距离；

(2)、栈道BD所在直线与A，C两处景点的连线是否垂直？请说明理由．

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4、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} \sin x, \sqrt{2} \sin x + \cos x)$ ， $\vec{b} = (\cos x, \cos x - \sqrt{2} \sin x)$ ， $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及在区间 $[0, π]$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0, m]$ 上有且只有两个零点，求m的取值范围．

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5、已知函数 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ ．

x

$f (x)$

(1)、用五点作图法作出 $f (x)$ 在一个周期上的图象（完成表格后描点连线）；

(2)、若 $θ \in (\frac{3 π}{4}, π)$ 且 $f (θ) = - \frac{8}{5}$ ，求 $\cos 2 θ$ 的值．

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6、已知向量 $\vec{a} = (3, 4)$ ， $\vec{b} = (1, x)$ ．

(1)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ ；

(2)、若 $\vec{c} = (1, 2)$ ， $\vec{c} / / (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角的余弦值．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $B = 45^{\circ}$ ， $D$ 是 $B C$ 边上一点， $A D = 5$ ， $A C = 7$ ， $D C = 3$ ，则 $A B =$ .

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8、已知 $△ A B C$ 的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c， $2 \cos C + \cos A = (2 \sin C - \sin A) \cdot \tan A$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ B、若D为边 $A C$ 的中点，且 $B D = 1$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $\frac{a}{c}$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2}, 2)$ D、若角B的平分线 $B E$ 与边 $A C$ 相交于点E，且 $△ A B C$ 的面积 $\sqrt{3}$ ，则 $B E$ 的最大值为 $\sqrt{3}$

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9、已知函数 $f (x) = 2 cos (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $x = \frac{π}{3}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 B、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, 0]$ 上单调递减 C、 $(\frac{π}{12}, 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 D、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 的值域为 $[- 2, 1]$

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10、下列说法不正确的有（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow \vec{a} = \vec{0}$ 或 $\vec{b} = \vec{0}$ B、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \vec{a} (\vec{b} \cdot \vec{c})$ C、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为非零向量，且 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向相同 D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是钝角

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11、下面关于空间几何体叙述正确的有（）

A、圆柱的所有母线长都相等 B、底面是正方形的棱锥是正四棱锥 C、一个棱台最少有5个面 D、用一平面去截圆台，截面一定是圆面

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12、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{3}$ ， $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (2 \vec{b} - \vec{c}) = 0$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ 的最小值等于（）

A、 $12 - 6 \sqrt{3}$ B、 $12 - 4 \sqrt{3}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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13、在 $△ A B C$ 中，若 $cos A - cos B + \frac{a - b}{c} = 0$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形

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14、已知 $|\vec{O A}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{O B}| = 1$ ，且 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$ ，则 $|\vec{A B}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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15、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，E、F分别是 $C D$ 边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（）

A、 $\bar{E F} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ B、 $\vec{A D} + \bar{D C} = \bar{A B} + \vec{B C}$ C、 $\vec{C B} - \vec{C E} = \vec{E B}$ D、 $\vec{A F} = \frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

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16、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (2, - 3)$ ，则 $\tan (α - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、1 D、5

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17、在 $△ A B C$ 中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $B = 30 °$ ， $b = 2$ ， $c = 2 \sqrt{2}$ ，则角C的大小为（）

A、45° B、105°或15° C、15° D、135°或45°

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18、 $\cos 24 ° \cos 69 ° + \sin 24 ° \sin 111 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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19、已知 $\{a_{n}\}$ 为有穷整数数列，共有 $n$ 项．给定正整数 $T$ ，若对任意的 $t \in \{t \in N_{+} ∣ t \leq T\}$ ，在 $\{a_{n}\}$ 中，存在 $a_{i}, a_{i + 1}, a_{i + 2}, \dots, a_{i + j} (j \geq 1)$ ，使得 $max \{a_{i}, a_{i + 1}, a_{i + 2}, \dots, a_{i + j}\} - min \{a_{i}, a_{i + 1}$ ， $a_{i + 2}, \dots, a_{i + j}\} = t, max \{a_{i}, a_{i + 1}, a_{i + 2}, \dots, a_{i + j}\}$ 表示 $a_{i}, a_{i + 1}, a_{i + 2}, \dots, a_{i + j}$ 中最大的一项， $min \{a_{i}, a_{i + 1}, a_{i + 2}, \dots, a_{i + j}\}$ 表示 $a_{i}, a_{i + 1}, a_{i + 2}, \dots, a_{i + j}$ 中最小的一项，则称 $\{a_{n}\}$ 为 $T -$ 有界数列．

(1)、判断 $1, 2, 4, 8$ 是否为 $4 -$ 有界数列，判断 $1, 8, 2, 4$ 是否为 $4 -$ 有界数列，说明理由；

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 共有4项， $a_{1} = 1$ ，且 $\{a_{n}\}$ 为单调递增数列，写出所有的 $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ ，使得 $\{a_{n}\}$ 为 $6 -$ 有界数列；

(3)、若 $\{a_{n}\}$ 为 $10 -$ 有界数列，证明： $n \geq 6$ ．

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20、下列命题中，正确的有（）

A、函数 $y = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ 与函数 $y = \sqrt{x^{2} - 1}$ 表示同一函数 B、已知函数 $f (2 x + 1) = 4 x - 6$ ，若 $f (a) = 10$ ，则 $a = 9$ C、若函数 $f (\sqrt{x} - 1) = x - 3 \sqrt{x}$ ，则 $f (x) = x^{2} - x - 2 (x ⩾ - 1)$ D、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0, 2]$ ，则函数 $f (2 x)$ 的定义域为 $[0, 4]$

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x
$f (x)$