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相关试卷

1、已知角 $θ$ 的终边经过点 $(- 2, \sqrt{5})$ ，则下列选项正确的有（）

A、 $θ$ 可能为锐角 B、 $sin θ = \frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $cos θ = - \frac{2}{3}$ D、点 $(tan θ, cos θ)$ 在第二象限

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2、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，当 $x \leq 0$ 时 $f (x) = e^{x} + 1$ ，且 $y = f (x + 1)$ 的图象关于 $x = - 1$ 对称．对于给定的正数 $λ$ ，定义函数 $g (x, λ) = \{\begin{matrix} f (x), f (x) \leq λ \\ λ, f (x) > λ \end{matrix}$ ，若函数 $y = g (x, \frac{3}{2}) - m$ 有零点，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(1, \frac{3}{2}]$ B、 $(0, \frac{3}{2}]$ C、 $[\frac{3}{2}, 2]$ D、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$

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3、已知 $cos α + sin α = \frac{\sqrt{7}}{4}$ ， $α \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ ，则 $\frac{sin α}{1 - tan α}$ 的值为（）

A、 $\frac{9}{40}$ B、 $- \frac{9}{40}$ C、 $\frac{9}{20}$ D、 $- \frac{9}{20}$

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4、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m + 1) x^{m - 1}$ 是 $R$ 上的偶函数，且函数 $g (x) = f (x) + (4 - 2 n) x$ 在区间 $[1, 5]$ 上单调，则实数 $n$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 3]$ B、 $[7, + \infty)$ C、 $[3, 7]$ D、 $(- \infty, 3]\cup[7, + \infty)$

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5、设 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{\frac{1}{2}} + 2,0 < x < 1, \\ 2 x, x \geq 1 \end{matrix}$ ，若 $f (a - 1) = f (a)$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、1 D、 $\frac{5}{8}$

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6、设 $a = {(\frac{1}{5})}^{- 0.8}$ ， $b = 5^{0.9}$ ， $c = {log}_{2} sin1$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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7、 $cos 330^{\circ} + tan 600^{\circ} =$ （）

A、 $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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8、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 > 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 \leq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 \leq 0$ C、 $\forall x \notin R$ ， $x^{2} + x + 1 > 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 > 0$

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9、已知集合 $M = {x ∣ - 2 < x < 3}$ ， $N = {x ∣ 3 - x < 2}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $(1, 3)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- 2, + \infty)$ D、 $(- \infty, 3)$

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10、记抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F, A (4, m)$ 为抛物线上一点， $|A F| = 6$ ，直线 $A F$ 与抛物线另一交点为 $B$ ，则 $\frac{|A F|}{|B F|} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、3

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11、已知 $P (B) = \frac{1}{2}$ ， $P (A B) = \frac{1}{4}$ ， $P (B | \bar{A}) = \frac{3}{5}$ ，则 $P (A) =$ .

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12、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C = A B = A A_{1}$ ， $∠ A B C = 90 °, M$ 是 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $N$ 是 $A C$ 的中点．

(1)、证明：直线 $M N ⊥$ 直线 $B C$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成的角的大小．

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13、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = m$ ， $A D = A A_{1} = 1$ ，点 $M$ 是棱 $C D$ 的中点．

(1)、求异面直线 $B_{1} C$ 与 $A C_{1}$ 所成的角的大小；

(2)、当实数 $m = \sqrt{2}$ ，证明：直线 $A C_{1}$ 与平面 $B M D_{1}$ 垂直；

(3)、若 $m = 2$ ．设 $P$ 是线段 $A C_{1}$ 上的一点（不含端点），满足 $\frac{A P}{A C_{1}} = λ$ ，求 $λ$ 的值，使得三棱锥 $B_{1} - C D_{1} C_{1}$ 与三棱锥 $B_{1} - C D_{1} P$ 的体积相等．

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14、如图所示正四棱锥 $S - A B C D$ ， $S A = S B = S C = S D = 2$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $P$ 为侧棱 $S D$ 上的点，且 $S P = 3 P D$ ，求：

(1)、若 $M$ 为 $S A$ 的中点，求证： $S C / /$ 平面 $B M D$ ；

(2)、侧棱 $S C$ 上是否存在一点 $E$ ，使得 $B E / /$ 平面 $P A C$ ．若存在，求 $\frac{S E}{E C}$ 的值；若不存在，试说明理由．

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15、已知向量 $\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c} = \overset{⃑}{0}$ ， $|\overset{⃑}{a}| = 1$ ， $|\overset{⃑}{b}| = |\overset{⃑}{c}| = 2$ ， $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{b} \cdot \overset{⃑}{c} + \overset{⃑}{c} \cdot \overset{⃑}{a} =$ ．

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16、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2 ， P$ 为正方形底面 $A B C D$ 内的一动点，则下列结论正确的有（）

A、三棱锥 $B_{1} - A_{1} D_{1} P$ 的体积为定值 B、存在点 $P$ ，使得 $D_{1} P ⊥ A D_{1}$ C、若 $D_{1} P ⊥ B_{1} D$ ，则 $P$ 点在正方形底面 $A B C D$ 内的运动轨迹长度为 $2 \sqrt{2}$ D、若点 $P$ 是 $A D$ 的中点，点 $Q$ 是 $B B_{1}$ 的中点，过 $P, Q$ 作平面 $α ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，则平面 $α$ 截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得截面的面积为 $3 \sqrt{3}$

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17、在 $△ A B C$ 中，已知 $\sqrt{3} a \cos \frac{A + C}{2} = b \sin A, b = \sqrt{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $\sqrt{3} < c < 2$ 时，此三角形有两解 B、 $△ A B C$ 面积最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、 $△ A B C$ 的外接圆半径为2 D、若 $c = 1$ ，则此三角形一定是直角三角形

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18、已知复数 $z = (m^{2} + 2 m - 3) + (m - 1) i$ ，其中 $m$ 为实数， $i$ 为虚数单位，则（）

A、若 $z$ 为纯虚数，则 $m = 1$ 或 $- 3$ B、若复平面内表示复数 $z$ 的点位于第四象限，则 $m < - 3$ C、若 $m = 2$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为 $- i$ D、若 $z = a - 2 i (a \in R)$ ，则 $| z | = 2 \sqrt{5}$

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19、在 $△ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $A C = 2$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， $P$ 是 $△ A B C$ 的外接圆上的一点，若 $\overset{⃑}{A P} = m \overset{⃑}{A B} +$ $n \overset{⃑}{A C}$ ，则 $m + n$ 的最小值是（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{6}$

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20、“中国天眼”射电望远镜的反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆面为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积 $S = 2 π R h$ ，其中R为球的半径， $h$ 为球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当 $C = 2 \sqrt{10} π$ ， $S = 14 π$ 时， $\frac{r}{R} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{10}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$

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