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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 2 \ln x + a x^{2} + b$ 在 $x = 1$ 处取得极值1.
（1）求 $a$ ， $b$ 的值；
（2）求 $f (x)$ 在 $[e^{- 1}, e]$ 上的最大值和最小值.

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2、混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品．现需通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束.

(1)、一共抽取了4次检测结束，有多少种不同的抽法？

(2)、若第一次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法？
（要求：解答过程要有必要的文字说明和步骤，结果以数字呈现）

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3、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，且满足 $x f^{'} (x) > f (x)$ ，则不等式 $(x - 1) f (x + 1) > f (x^{2} - 1)$ 的解集是.

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4、已知曲线 $y = x e^{x}$ ，过点 $(3, 0)$ 作该曲线的两条切线，切点分别为 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ .

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为4，且满足 $2 (n + 1) a_{n} - n a_{n + 1} = 0 (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 为等差数列 B、 $\{a_{n}\}$ 为递增数列 C、 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = (n - 1) \cdot 2^{n + 1} + 4$ D、 $\{\frac{a_{n}}{2^{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} = \frac{n^{2} + n}{2}$

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6、用半径为1的圆形铁皮剪出一个扇形制成一个圆锥形容器，容器高为 $h$ ，当容器的容积最大时， $h =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7、已知函数 $f (x)$ 与 $f' (x)$ 的图象如图所示，则函数 $y = \frac{f (x)}{e^{x}}$

A、在区间 $(- 1, 2)$ 上是减函数 B、在区间 $(- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ 上是减函数 C、在区间 $(\frac{1}{2}, 3)$ 上减函数 D、在区间 $(- 1, 1)$ 上是减函数

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8、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{8} = 12$ ， $S_{24} = 36$ ，则 $S_{16} =$ （）

A、24 B、12 C、24或－12 D、－24或12

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9、若 $f (x) = \ln (2 - x) - x$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{Δ x} =$ （）

A、0 B、2 C、－2 D、－4

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10、若 $C_{n}^{2} = 15$ ，则 $A_{n}^{2} =$ （）

A、30 B、20 C、12 D、6

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11、已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为F，在第一象限内的点 $A_{1} (x_{1}, y_{1})$ 和第二象限内的点 $B_{1} ({x^{'}}_{1}, {y^{'}}_{1})$ 都在抛物线C上，且直线 $A_{1} B_{1}$ 过焦点F．按照如下方式依次构造点 $A_{n} (n = 2, 3, \dots)$ ：过点 $A_{n - 1}$ 作抛物线C的切线与x轴交于点 $D_{n - 1}$ ，过点 $D_{n - 1}$ 作x轴的垂线与抛物线C相交于点 $A_{n}$ ，设点 $A_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n})$ ．用同样的方式构造点 $B_{n} (n = 2, 3, \dots)$ ，设点 $B_{n}$ 的坐标为 $({x^{'}}_{n}, {y^{'}}_{n})$ ．

(1)、证明：数列 $\{x_{n}\}, \{{x^{'}}_{n}\}$ 都是等比数列；

(2)、记 $a_{n} = \frac{n}{16} \cdot |x_{n} {x^{'}}_{n}|$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(3)、证明：当 $n \in N^{*}$ 时，直线 $A_{1} B_{1}, A_{2} B_{2}, \dots, A_{n} B_{n}, \dots$ 都过定点．

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12、在平行四边形 $A B C D$ 中（如图1）， $A B = 2 B C = 2$ ， $M$ 为 $A B$ 的中点，将等边 $△ A D M$ 沿 $D M$ 折起，连接 $A B, A C$ ，且 $A C = 2$ （如图2）．

(1)、求证： $CM ⊥$ 平面 $A D M$ ；

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $A B M$ 所成角的正弦值；

(3)、点 $P$ 在线段 $A C$ 上，且满足 $\vec{A P} = 2 \vec{P C}$ ，求平面 $P D M$ 与平面 $B C D M$ 所成角的余弦值．

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13、现市场上治疗某种疾病的药品有 $A, B$ 两种，其治愈率与患者占比如表所示，为试验一种新药 $C$ ，在有关部门批准后，某医院把此药给100个病人服用．设药 $C$ 的治愈率为 $p (0 < p < 1)$ ，且每位病人是否被治愈相互独立．

A
B
C（新药）
治愈率
$75 %$
$70 %$
$p$
患者占比
$52 %$
$48 %$

(1)、记100个病人中恰有80人被治愈的概率为 $f (p)$ ，求 $f (p)$ 的最大值点 $p_{0}$ ；

(2)、设用新药 $C$ 的患者占比为 $n %$ （药品 $A, B$ 减少的患者占比，均为新药 $C$ 增加占比的一半， $(0 < n < 96)$ ，以（1）问中确定的 $p_{0}$ 作为 $p$ 的值，从已经用药的患者中随机抽取一名患者，求该患者痊愈的概率（结果用 $n %$ 表示）

(3)、按照市场预测，使用新药 $C$ 的患者占比 $X$ 能达到 $20 %$ 以上，不足 $40 %$ 的概率为 $\frac{1}{3}$ ，不低于 $40 %$ 且不超过 $60 %$ 的概率为 $\frac{1}{2}$ ，超过 $60 %$ 的概率为 $\frac{1}{6}$ ，某药企计划引入药品 $C$ 的生产线，但生产线运行的条数受患者占比的影响，关系如下表：
患者占比
$20 % < X < 40 %$
$40 % \leq X \leq 60 %$
$X > 60 %$
最多投入生产线条数
1
2
3
若某条生产线运行，年利润为1000万，若某条生产线未运行，年亏损300万，欲使该药企生产药品 $C$ 的年总利润均值最大，应引入几条生产线？

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14、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a cos C - a sin C - b + \sqrt{2} c = 0$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、设 $D$ 是边 $B C$ 中点，若 $cos C = - \frac{3}{5}$ ，求 $sin ∠ A D C$ ．

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15、已知四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $∠ D A B = \frac{2 π}{3}$ ， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A A_{1} = A B = A D = 3 \sqrt{3}$ ，点 $P$ 是四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面上的一个动点，且直线 $A P$ 与 $C C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为．

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16、已知集合 $A = \{x ∣ x \leq 2\}$ ，则 $∁_{R} A =$ ．

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17、已知曲线C的方程为 $x^{2} + y^{2} - x y = 1$ ，下列说法正确的有（）

A、曲线C关于直线 $y = x$ 对称 B、 $- 1 \leq x \leq 1$ ， $- 1 \leq y \leq 1$ C、曲线C被直线 $y = x + \frac{1}{2}$ 截得的弦长为 $\frac{\sqrt{26}}{2}$ D、曲线C上任意两点距离的最大值为 $2 \sqrt{2}$

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18、设 $a > 0$ ，已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x - 1, x < - a, \\ - \sqrt{a^{2} - x^{2}}, - a \leq x \leq a, 则 \\ \sqrt{x} + 2, x > a . \end{array}$ （）

A、 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递减 B、当 $a \geq \frac{1}{2}$ 时， $f (x)$ 存在最小值 C、设 $M (x_{1}, f (x_{1})) (x_{1} \leq a), N (x_{2}, f (x_{2})) (x_{2} > a)$ ，则 $|M N| > 2$ D、设 $P (x_{3}, f (x_{3})) (x_{3} < - a), Q (x_{4}, f (x_{4})) (x_{4} \geq - a)$ ，若 $|P Q|$ 存在最小值，则 $a \in (0, \frac{1}{2})$

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19、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2, A C = 3, \vec{B D} = \vec{D C}, \vec{A E} = 2 \vec{E B}$ ．若 $\vec{A D} + \vec{C E} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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20、某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为 $6 m$ ，宽为 $8 m$ ，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为 $2 m$ ，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（）

A、 $3.5 m$ B、 $4 m$ C、 $4.5 m$ D、 $5 m$

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	A	B	C（新药）
治愈率	$75 %$	$70 %$	$p$
患者占比	$52 %$	$48 %$

患者占比	$20 % < X < 40 %$	$40 % \leq X \leq 60 %$	$X > 60 %$
最多投入生产线条数	1	2	3