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相关试卷

1、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $A D = 4$ ，点 $E$ 满足 $2 \vec{A E} = 3 \vec{E B}$ ，在平面 $A B C D$ 中，动点 $P$ 满足 $\vec{P E} \cdot \vec{P B} = 0$ ，则 $\vec{D P} \cdot \vec{A C}$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{41} + 4$ B、 $\sqrt{41} - 6$ C、 $2 \sqrt{13} + 4$ D、 $2 \sqrt{13} - 6$

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2、在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < π$ ）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的编号是（）
①函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6}, 0)$ 成中心对称；
②函数 $f (x)$ 的解析式可以为 $f (x) = 2 \cos (2 x - \frac{2 π}{3})$ ；
③函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{12}, \frac{13 π}{24}]$ 上的值域为 $[0, 2]$ ；
④若把 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{2}{3}$ 倍，纵坐标不变，再向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，则所得函数是 $y = 2 \sin (3 x + \frac{π}{12})$

A、①③ B、②③ C、③④ D、①④

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3、成实外教育集团自2000年成立以来，一直行走在民办教育的前端，致力于学生的全面发展，对学生的教育视为终身己任，在教育事业上砥砺前行，永不止步.截至目前，集团已开办29所K-12学校和两所大学，其中高中教育学校有11所.集团拟召开综合考评会.经考评后，11所学校得分互不相同，现从中任选3所学校的代表交流发言，则排名为第一名或第五名的学校代表去交流发言的概率为（）

A、 $\frac{24}{55}$ B、 $\frac{28}{55}$ C、 $\frac{8}{11}$ D、 $\frac{27}{55}$

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4、已知直线 $l$ 、 $m$ 、 $n$ 与平面 $α$ 、 $β$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $l ⊥ n$ ， $m ⊥ n$ ，则 $l / / m$ B、若 $l ⊥ α$ ， $l / / β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $l ⊥ α$ ， $l ⊥ m$ ，则 $m / / α$ D、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = m$ ， $l ⊥ m$ ，则 $l ⊥ β$

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5、在平面直角坐标系中，角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (3, 4)$ ，则 $\frac{sin α + 2 cos α}{cos α - sin α} =$ （）

A、11 B、 $- 10$ C、10 D、 $- 11$

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6、已知 $a = {log}_{3} 0.2, b = 3^{0.2}, c = {0.3}^{0.2}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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7、若复数 $z = \frac{i}{2 - i}$ ，其中i为虚数单位，则共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $- \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ B、 $- \frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$ C、 $\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ D、 $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$

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8、已知集合 $M = \{x ∣ x^{2} - 4 x > 0\}, N = {x ∣ 2 < x < 8}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(4, 8)$ D、 $(2, 4)$

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9、已知向量 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (0, 3)$ ，若实数λ满足 $(λ \vec{b} - \vec{a}) ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $- 1$ D、1

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10、将三项式展开，得到下列等式：
${(a^{2} + a + 1)}^{0} = 1$
${(a^{2} + a + 1)}^{1} = a^{2} + a + 1$
${(a^{2} + a + 1)}^{2} = a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 1$
${(a^{2} + a + 1)}^{4} = a^{6} + 3 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 1$
…
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共有2k+1个数．则关于x的多项式式 $(a^{2} + a x - 3) {(x^{2} + x + 1)}^{5}$ 的展开式中， $x^{8}$ 项的系数（）

A、 $15 (a^{2} + a - 1)$ B、 $15 (a^{2} + a + 1)$ C、 $15 (a^{2} + 2 a + 3)$ D、 $15 (a^{2} + 2 a - 3)$

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11、定义域为集合 $A$ 的函数 $f (x)$ ，若存在 $t \in A$ ，使关于 $x$ 的方程 $f (x + t) = f (x) + f (t)$ 有解，则不妨称 $f (x)$ 在“ $t$ 处”可拆，且称方程的解为 $f (x)$ 的“ $t$ 可拆点”.

(1)、若 $f (x) = 2^{x}$ ，求 $f (x)$ 的“1可拆点”；

(2)、证明：对任意 $m > - 1, g (x) = ln (x + m)$ 在“2处”可拆；

(3)、是否同时存在实数 $a$ 和正整数 $n$ ，使得函数 $h (x) = cos 2 x - a$ 在 $[0, n π]$ 上恰有5个“ $\frac{π}{6}$ 可拆点”？若存在，请求出所有符合条件的 $a$ 和 $n$ ；若不存在，请说明理由.

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12、已知函数 $f (x) = a - \frac{1}{2^{x} + 1}$ 为奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并证明你的结论；

(3)、若对任意的 $x \in R$ ，不等式 $f (m x^{2}) + f (3 - 2 m x) > 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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13、近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速.某公司自2020年起，每年统计其芯片的年销售数量.将2020年记为第0年，统计数据如下表所示：
年份
2020
2021
2022
2023
2024
时间 $(t) /$ 年
0
1
2
3
4
年销售数量 $(Q) /$ 万片
100
150
225
337.5
506.25

(1)、在平面直角坐标系中，以 $t$ 为横轴， $Q$ 为纵轴，根据表格中的数据画出散点图；

(2)、为了描述年销售数量 $Q$ 与时间 $t$ 的关系，现有以下三种数学模型供选择：
① $Q = a t + b$ ② $Q = k a^{t}$ ③ $Q = k {log}_{a} t + b$
（i）根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式；
（ii）根据（i）中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2000万片？（参考数据： $lg 2 \approx 0.301, lg 3 \approx 0.477$ ）

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14、已知函数 $f (x) = cos \frac{x}{2} + \sqrt{3} sin \frac{x}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0, 2 π]$ 上的最大值和最小值，以及取得最大、最小值时 $x$ 的值.

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15、（1）计算： ${(3 \frac{3}{8})}^{\frac{2}{3}} - π^{0} + \sqrt[3]{- \frac{1}{64}}$ ；
（2）已知 $x \cdot {log}_{3} 5 = 1$ ，求 $5^{x} + 5^{- x}$ 的值；
（3）已知角 $θ$ 的终边过点 $P (4, - 3)$ ，求 $sin (\frac{3 π}{2} - θ) cos (θ + π)$ 的值.

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (2 - a^{2}) x^{2} + 2 a x - 3, x \leq 1 \\ {log}_{a} x + 1, x > 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是.

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17、一个扇形的弧长与面积的数值都是4，则这个扇形的圆心角的弧度数为 $rad$ .

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18、已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{3}{b} = 1$ ，则 $a + b$ 的最小值为.

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19、质点 $P$ 和 $Q$ 在以坐标原点 $O$ 为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发， $P$ 的角速度大小为 $1 rad / s$ ，起点为 $(1, 0)$ ， $Q$ 的角速度大小为 $3 rad / s$ ，起点为 $(\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ .则当 $P$ 与 $Q$ 重合时， $P$ 的坐标可能为（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$

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20、下列关于函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ 的说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 B、 $f (x)$ 是增函数 C、 $f (|x|)$ 的最大值是 $\frac{1}{2}$ D、若 $0 < a < \frac{1}{2}$ ，则方程 $|f (x)| = a$ 有四个不等实数根

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年份	2020	2021	2022	2023	2024
时间 $(t) /$ 年	0	1	2	3	4
年销售数量 $(Q) /$ 万片	100	150	225	337.5	506.25