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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^{2} x - \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (x_{0}) = \frac{1}{3}, x_{0} \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $\cos 2 x_{0}$ 的值；

(3)、若 $f (x)$ 的图象与直线 $y = a$ 在区间 $(0, \frac{7}{6} π)$ 上恰有三个交点，其横坐标分别为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，求 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围．

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2、已知函数 $f (x) = |\ln x|$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (m) = f (n), n > m > 0$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{3}{n}$ 的最小值；

(3)、若方程 ${(\ln x)}^{2} - 2 a |\ln x| + 2 a^{2} - 2 = 0$ 有四个不等实根，求实数 $a$ 的取值范围．

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3、已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + b$ ．

(1)、若 $f (x) < 0$ 的解集为 $(1, 2)$ ，求实数 $a, b$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[- 1, 3]$ 上具有单调性，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $b = 1$ 时，对任意 $x \in (\frac{1}{2}, 3), f (x) < 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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4、已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴正半轴重合，终边经过点 $(- 1, - 2)$ ．

(1)、求 $\tan α$ 和 $\sin 2 α$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin (\frac{π}{2} + α) + \cos (\frac{π}{2} - α)}{2 \sin (π - α) + \sin (\frac{3}{2} π + α)}$ 的值．

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5、已知实数 $x, y$ 满足 $3 x^{2} + 2 x y + y^{2} = 2$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的取值范围是．

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6、不等式 $k x^{2} + 2 k x - 1 < 0$ 对一切实数 $x$ 都成立，则实数 $k$ 的取值范围

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x - 3, x \leq 0 \\ - 2 + \ln x, x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (e)) =$ ．

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8、定义在 $R$ 上的函数 $f (x) \geq 0$ ，且 $f^{2} (x + y) + f^{2} (x - y) = 2 [f^{2} (x) + f^{2} (y)], f (1) = 2$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 2)$ 对称 C、 $f (3) = 6$ D、 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (10) = 110$

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9、已知 $f (x) = |\sin x| + |\cos x|$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{2}$ 对称 C、 $f (x)$ 的值域为 $[1, \sqrt{2}]$ D、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上单调递增

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10、下列命题为真命题的是（）

A、 $x y > 0$ 是 $x > 0, y > 0$ 的必要不充分条件 B、若 $α, β \in (0, \frac{π}{2}), \cos α \cos β = 3 \sin α \sin β$ ，则 $α + β$ 的最小值为 $\frac{π}{3}$ C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若幂函数 $y = x^{m}$ 的图象经过点 $(2, 8)$ ，则函数 $f (x) = \log_{a} (x + m)$ 的图象恒过定点 $(- 2, 0)$

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11、已知 $ω > 0$ ，函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{4})$ 在 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{3}{4}]$ B、 $[\frac{3}{2}, \frac{7}{4}]$ C、 $(0, \frac{3}{4}] \cup [\frac{3}{2}, \frac{7}{4}]$ D、 $[\frac{3}{2}, \frac{7}{4}] \cup [\frac{11}{4}, \frac{7}{2}]$

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12、设 $a = \ln 2, b = \cos \frac{3}{2}, c = 2^{\sin \frac{1}{2}}$ ，则下列关系正确的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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13、已知 $2^{a} = 3^{b} = t$ ，且 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 2$ ，则 $t =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\pm 2 \sqrt{3}$ D、12

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14、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象相邻的两条对称轴间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，为得到 $y = f (x)$ 的图象，可将 $y = \cos x$ 的图象上所有的点（）

A、先向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变 B、先向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变 C、先向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D、先向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变

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15、已知 $\tan (\frac{π}{4} - x) = \frac{1}{2}$ ，则 $\tan 2 x =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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16、命题：“ $\exists x > 0, x^{2} - 2 x > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x > 0, x^{2} - 2 x > 0$ B、 $\forall x > 0, x^{2} - 2 x \leq 0$ C、 $\exists x \leq 0, x^{2} - 2 x > 0$ D、 $\exists x \leq 0, x^{2} - 2 x \leq 0$

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17、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 2 x - 3 < 0\}, B = \{x |y = \sqrt{x - 2}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[2, 3)$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $(- 1, 3)$ D、 $(3, + \infty)$

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18、蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段 $A B$ ，作一个等边三角形 $A B C$ ，然后以点B为圆心， $A B$ 为半径逆时针画圆弧交线段 $C B$ 的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心， $C D$ 为半径逆时针画圆弧交线段 $A C$ 的延长线于点E，再以点A为圆心， $A E$ 为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（）

A、 $44 π$ B、 $64 π$ C、 $70 π$ D、 $80 π$

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19、如图，在三棱台 $A B C - D E F$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $B F ⊥ A D$ ， $B C = 2$ ， $B E = E F = F C = 1$ ．

(1)、求证：平面 $B C F E ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若直线 $A E$ 与平面 $B C F E$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ，求平面 $D E C$ 和平面 $A B C$ 所成角的正切值．

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20、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、试判断直线 $B D_{1}$ 与平面 $A C E$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，求点 $B$ 到平面 $A B_{1} C$ 的距离．

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